Mire, profe. El polinomio x3 + Ax2 + Bx + C tiene tres ceros... ¿Qué condición deben cumplir los coeficientes A, B y C para que los tres ceros estén en progresión aritmética? ¿Y si la progresión fuera geométrica?
Pepe Chapuza ha propuesto este reto... ¿Progresas con las progresiones? ¿Te atreves a resolverlo?
SOLUCIÓN
Nina Guindilla llamó Z al segundo cero (que era el término central de la progresión).
Profe, mire. Si la progresión es aritmética de diferencia D, los tres ceros son Z−D, Z y Z+D. Por tanto el polinomio se puede factorizar y desarrollar así:
(x−Z+D) (x−Z) (x−Z−D) = x3 − 3Z x2 + (3Z2−D2) x − Z3 + D2Z
por lo que igualando los coeficientes tenemos
A = −3Z
B = 3Z2−D2
C = −Z3 + D2Z
y por tanto
Z = −A/3 de la primera igualdad
D2 = A2/3 − B de la segunda igualdad
C = A3/27 −A3/9 + AB/3 de la tercera igualdad
Así que...
2A3 − 9AB + 27C = 0
Nina había conseguido la primera condición. Sigamos oyéndola...
Mire, profe. Si la progresión es geométrica de razón R, los tres ceros son Z/R, Z y Z·R. Por lo tanto el polinomio se puede factorizar y desarrollar así:
(x−Z/R) (x−Z) (x−Z·R) = x3 − Z(1/R+1+R) x2 + Z2(1/R +1+R) x − Z3
por lo que igualando los coeficientes tenemos
A = −Z(1/R+1+R)
B = Z2(1/R +1+R)
C = −Z3
y por tanto
Z = −B/A de las dos primeras igualdades
C = B3/A3 de la tercera igualdad
Así que...
A3C − B3 = 0
Ya teníamos la segunda condición...
Pero esto se entiende mejor con ejemplos, así que propuse como ejercicios calcular los ceros en progresión aritmética del polinomio x3 − 21x2 + 122x − 168 y los ceros en progresión geométrica del polinomio x3 − 26x2 + 156x − 216 .
RESOLUCIÓN
Mire, profe.
Comprobamos la primera condición con el primer polinomio...
2·(−21)3 − 9·(−21)·122 + 27·(−168) = 0
por lo que.
Z = −(−21)/3 = 7
D2 = (−21)2/3 − 122 ) = 25
D = √25 = 5 (también −5)
y los ceros son
2, 7 y 12.
Y ahora la segunda condición con el segundo polinomio...
(−26)3·(−216) − 1563 = 0
por lo que
Z = (−156)/(−26) = 6
1/R+1+R = −(−26)/6 = 13/3
3 + 3R + 3R2 = 13R
3R2 − 10R + 3 = 0
R = ( 5 + √(25−9) ) / 3 = 3 (también 1/3)
y los ceros son
2, 6 y 18.
Felicité a Yoyó Gaviota...
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