985. Los cubos de MacMahon. RESOLUCIÓN

    Había propuesto un problema de Combinatoria... Había un cubo y seis colores. Y había que calcular cuántos cubos diferentes se podían conseguir coloreando cada cara de un color diferente...

   ¡Las respuestas de mis alumnos fueron todas distintas y solo había una correcta! ¿Adivináis cuál?... Sí, la respuesta de Pepe Chapuzas era 30. Se trataba de los 30 cubos de MacMahon con los que se podían plantear un sinfín de juegos y rompecabezas...

    Busca en Internet pasatiempos con los cubos de MacMahon y nos lo comentas a todos... (Hay algunos que son desafíos solo para valientes.)
    Pepe, por otro lado, ha planteado el mismo problema inicial pero coloreando caras de otros poliedros:

    ¿Cuántos tetraedros se pueden conseguir con 4 colores?
    ¿Cuántos octaedros se pueden conseguir con 8 colores?
    ¿Cuántos dodecaedros se pueden conseguir con 12 colores?
    ¿Cuántos icosaedros se pueden conseguir con 20 colores?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla explicó por qué había 30 cubos de MacMahon. Así procedió para responder a las preguntas de Pepe...

    Profe, mire. Hay 6! = 6·5·4·3·2·1 = 720 permutaciones de 6 colores... pero un cubo tiene 6 cuadrados y cada cuadrado 4 lados, por lo tanto, un cubo tiene 6·4 = 24 posiciones diferentes... Así pues, en total habrá 720:24 = 30 cubos diferentes.
    Razonando de la misma manera habrá... 

4·3·2·1:4:3 = 2 tetraedros,

8·7·6·5·4·3·2·1:8:3 = 1680 octaedros,

12·11·10·9·8·7·6·5·4·3·2·1:12:5 = 7983360 dodecaedros y

20·19·18·17·16·15·14·13·12·11·10·9·8·7·6·5·4·3·2·1:20:3 = 40548366802944000 icosaedros.

     Nina se fabricó los 30 cubos de MacMahon:

     Nina encontró en Internet muchos rompecabezas con los cubos de MacMahon. De entre ellos le gustó especialmente estos dos:

    a) Construir con 27 cubos un cubo (3x3x3) de modo que cada cara sea de distinto color...
    b) Elegir un cubo de los 30. Construir con 8 de los 29 restantes un cubo (2x2x2) con los colores de las caras en la misma disposición que el cubo elegido, de modo que las caras en contacto tengan a su vez el mismo color...

    ¡Juega con los cubos de MacMahon! Busca otros rompecabezas y los compartes...

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso encontró dos puzles inventados también por MacMahon:

    Profe, mire. Con las 24 maneras en que se pueden colorear los lados de un triángulo  que puede girar con 4 colores hay que formar figuras de modo que las aristas en contacto sean del mismo color...
    Lo mismo con las 24 maneras en que se pueden colorear un cuadrado con tres colores...

    Por ejemplo, un hexágono con triángulos (con el borde de un color):

    Y un rectángulo con cuadrados (con el borde de un color):