989. Doblando el papel de regalo. RESOLUCIÓN

    Profe, mire. Tengo un cuadrado de papel de regalo.. Es azul por un lado y rojo por el otro. He doblado una esquina de modo que ahora se ven una zona azul en forma de ele y una zona roja en forma de triángulo rectángulo isósceles... Ambas zonas tienen la misma área... Si la ele tiene una anchura de 10cm ¿cuánto mide la hipotenusa del triángulo rectángulo? ¿Y el área del papel de regalo?

    Pepe Chapuzas está preparando regalos... con Matemáticas...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla resolvió el regalito...

    Si llamo x al lado del triángulo rectángulo, su área medirá x²/2, mientras que el área de la ele será 20x+100. Solo hay que resolver la ecuación x²/2 – 20x –100 = 0... La solución es fácil... x=20+√(400+200) = 20+10√6, y la hipotenusa mide (20+10√6)·√2 = 20(√2+√3) = 62,9cm. Finalmente, el área del papel de regalo será (30+10√6)² = 1500+600√6 = 2969,69cm². ¡Un buen papel!

    Nina nos ha dejado también su regalito...

    Ahora el papel de regalo es circular: un círculo de 1m² de área. Al doblar por una cuerda las áreas roja y azul coinciden. Halla la longitud de la cuerda...

RESOLUCIÓN

    Profe. mire. El área de un segmento circular de radio R y ángulo α (en radianes) se puede calcular con la fórmula R²(α–senα)/2. El área del segmento rojo será R²(α–senα)/2 y el área del segmento azul+rojo será R²(π–α–sen(π–α))/2 = R²(π–α–senα)/2. Si el área de este segmento el doble del área del segmento rojo, será π–α–senα = 2α–2senα, esto es, senα = 3α–π.

    Yoyó Peluso echo mano de Internet para encontrar una solución aproximada: α = 1,37410 radianes. Ahora era sencillo continuar...

    Mire, profe. El área del papel es πR² = 1 por lo que R = 1/√π = 0,56419. Por lo tanto la cuerda mide 2R·sen(α/2) = 1,12838·sen(0,68705) = 0,7157m.