966. Trigonometría hiperbólica. RESOLUCIÓN

    Profe, ¿nos tenemos que aprender todas las fórmulas trigonométricas? ¡Son demasiadas!...

    Era Pepe Chapuzas el que se quejaba... Le comenté que no había motivos para protestar puesto que no íbamos a ver la trigonometría hiperbólica, la hermana gemela de la trigonometría circular de la que se quejaba tanto... Y que todavía había una hermana mayor, que era la trigonometría esférica... Sabía que iba a despertar su curiosidad, así que le definí las funciones sh (seno hiperbólico) y ch (coseno hiperbólico):

    Y me atreví a darle tres fórmulas de trigonometría hiperbólica que enseguida relacionó con las equivalentes de trigonometría circular...

    Pepe Chapuzas no tuvo ningún problema en demostrar estas tres fórmulas a partir de las definiciones de sh y ch... Hazlo tú también.

SOLUCIÓN

    a) ch²(x) – sh²(x) = (e^x + e^–x)²/4 – (e^x – e^–x)²/4  = (e^2x + 2e⁰ + e^2x – e^2x + 2e⁰ – e^2x)/4 = 4/4 = 1.
    b) d sh(x) / dx = d ((e^x – e^–x)/2) / dx = (e^x –(– e^–x))/2 = (e^x + e^–x)/2 = ch(x).
    c) sh(x)ch(y) + ch(x)sh(y) = (e^x – e^–x)(e^y + e^–y)/4 + (e^y – e^–y)(e^x + e^–x)/4 =
= (e^x+y + e^x–y – e^–x+y – e^–x–y + e^x+y + e^–x+y – e^x–y – e^–x–y)/4 = (2e^x+y – 2e^–x–y)/4 =
= (e^x+y – e^–x–y)/2 = sh(x+y).

    Fácil para Nina Guindilla...
    Si definimos la tangente hiperbólica como th(x) = sh(x)/ch(x), halla una expresión para su función recíproca argth(x).

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso empezó con las definiciones...

    Veamos: th(x) = sh(x)/ch(x) = (e^x – e^–x)/(e^x + e^–x). Si multiplico numerador y denominador por e^x tenemos th(x) = (e^2x – 1)/(e^2x + 1) =1 – 2/(e^2x + 1). Ahora puedo despejar poco a poco la variable x en función de y = th(x): 

y = 1 – 2/(e^2x + 1)

1–y = 2/(e^2x + 1)

e^2x + 1 = 2/(1–y)

e^2x = 2/(1–y) – 1 = (1+y)/(1–y)

2x = ln(1+y) – ln(1–y)

x = (ln(1+y) – ln(1–y))/2

argth(x) = (ln(1+x) – ln(1–x))/2