651. El módulo del producto vectorial. RESOLUCIÓN

    Había explicado cómo se calculaba el producto vectorial y había mandado un ejercicio sencillo... Solo había que calcular el módulo del producto vectorial de dos vectores u y v, es decir, la longitud de u x v.

    Los vectores eran u = (11, 10, 30) y v = (1'3, 2, 4). La única dificultad era que las coordenadas de u venían expresadas en decímetros y las de v en metros...  Pepe Chapuzas prefería trabajar sin decimales y decidió trabajar con decímetros:
|(11, 10, 30)x(13, 20, 40)| = |(10·40–30·20, 30·13–11·40, 11·20–10·13)| = |(–200, –50, 90)| = √50600 = 224'94 decímetros.
    Aunque después hizo los cálculos en metros:
 |(1'1, 1, 3)x(1'3, 2, 4)| = |(1·4–3·2, 3·1'3–1'1·4, 1'1·2–1·1'3)| = |(–2, –0'5, 0'9)| = √5'06 = 2'2494 metros.
    En seguida se percató de que algo no cuadraba... ya que 224'94 decímetros no eran 2'2494 metros... ¿Cuál era la longitud verdadera de u x v?
    Si alguien puede aclarar algo de este embrollo que eche una mano...
    (Para no confundir la coma de separación de coordenadas con la coma de separación de decimales se ha utilizado el apóstrofo para esto último, como suele hacerse por estos lares. En otros sitios utilizan el punto decimal o el punto y coma para separar coordenadas... ¡Chapuzas matemáticas!)

SOLUCIÓN

    Profe, creo entender el problema. La interpretación del módulo del producto vectorial me da una pista: es el área del paralelogramo determinado por los dos vectores factores... Pero un área no viene dada en metros o decímetros lineales sino en metros y decímetros cuadrados... Sin embargo el módulo de un vector (y el producto vectorial lo es) es su longitud, o sea, una magnitud lineal... A la hora de dibujarlo tengo que dibujar un segmento ¡con una longitud proporcional a un área!, cuando en realidad las áreas son proporcionales a los cuadrados de las longitudes... La única solución al problema es asumir que tal longitud dependa de la unidad lineal elegida como "paradójicamente" se le presentó a Pepe... Por lo tanto, ¡cuidado!, en el producto vectorial los tres elementos que determinan un vector tienen cierta dosis de artificiosidad: el módulo, porque representamos un área mediante una longitud; la dirección, porque es perpendicular común, que existe en la geometría del espacio pero no en la del plano; y el sentido, porque la regla del sacacorchos es un convenio.
    De todos modos, ya sabíamos que las longitudes de los segmentos que representan el producto y la raíz cuadrada dependen del segmento unidad. Así que no nos podemos extrañar...

    Nina Guindilla ha arrojado un poco de luz sobre el misterioso producto vectorial...

    Demuestra el siguiente resultado sobre los productos escalar y vectorial:

(u·v)² + (u x v)² = u²v².

    Demuestra el siguiente resultado sobre el producto mixto: 

u·(v x w) = (u x v)·w

RESOLUCIÓN

    Mire la siguiente cadena de igualdades: 

(u·v)² + (u x v)² = u²v²cos²θ + u²v²sen²θ = u²v²(cos²θ +sen²θ) = u²v²

    La primera demostración era corta... ¿Cómo habrá hecho Yoyó Peluso la segunda?

    Mire, profe. El producto mixto se puede calcular como un determinante... Podemos aplicar las propiedades de los determinantes y del producto escalar: 

u·(v x w) = det(u,v,w) = det(w,u,v) = w·(u x v) =  (u x v)·w.