664. Las cuerdas equidistantes. RESOLUCIÓN

    Si en un círculo de radio r trazamos tres cuerdas equidistantes (en rojo), tales que la distancia (en azul) entre ellas es precisamente r, entonces los puntos medios de las cuerdas (rojas) son vértices de un triángulo equilátero...

    Encontré este precioso resultado en el cuaderno de Pepe Chapuzas. Cuando toca revisión de cuadernos, es el suyo el primero (y el último) que "reviso". Venía sin demostración... ¿Te atreves...?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla se imaginó que estaba en el plano complejo. Así, los puntos del plano real eran números complejos...

    Mire, profe. Para simplificar los cálculos puedo suponer, sin perder generalidad, que esta es la circunferencia unidad (centrada en 0 y de radio r = 1). Puedo suponerlo porque la forma de los triángulos no cambian con semejanzas ni traslaciones. Los extremos de las cuerdas se pueden escribir en coordenadas polares así:

1_A  y 1_B

1_B+60º  y 1_C

1_C+60º y 1_A–60º

   Y los puntos medios de las cuerdas son: 

0,5_A + 0,5_B  

0,5_B+60º  + 0,5_C  

0,5_C+60º  + 0,5_A–60º

   Y para probar que son vértices de un triángulo equilátero: 

( 0,5_A  + 0,5_B  ) + 1_120º · ( 0,5_B+60º  + 0,5_C ) + 1_–120º · ( 0,5_C+60º + 0,5_A–60º ) =

=  0,5_A + 0,5_B +  0,5_B+180º  + 0,5_C+120º + 0,5_C–60º  + 0,5_A–180º  =

=  0,5_A  + 0,5_B –  0,5_B  + 0,5_C+120º – 0,5_C+120º  – 0,5_A = 0

    Nina ha utilizado el siguiente resultado de Geometría del plano complejo: los puntos a, b y c son vértices en sentido antihorario de un triángulo equilátero si y solo si se cumple la igualdad a + 1_120º · b + 1_–120º · c = 0. Pruébalo.

    Demuestra también el siguiente resultado: si a, b y c son vértices de un triángulo y a', b' y c' son tales que los triángulos a-b-c', b-c-a' y c-a-b' son semejantes, entonces los triángulos a-b-c y a'-b'-c' comparten baricentro.

RESOLUCIÓN

    Mire, profe. El triángulo de vértices a, b y c, en sentido antihorario, es equilátero si y solo si el lado a – b es el lado c – b rotado 60º, esto es, (a – b)/(c – b) = 1_60º . (El número 1_60º es un versor.)

a – b = 1_60º · (c – b) = 1_60º · c – 1_60º · b, 

a +  ( 1_60º + 1_180º ) · b – 1_60º · c = 0, 

a +  1_120º · b + 1_–120º · c = 0.

    Yoyó Peluso siguió operando con números complejos de la siguiente manera... 

    Profe, mire. Como los tres triángulos verdes son semejantes habrá un número complejo d tal que (c' – a)/(b – a) = (b' – c)/(a – c) = (a' – b)/(c – b) = d, por lo que...

a' = cd – bd + b

b' = ad – cd + c

c' = bd – ad + a

    Sumando las tres igualdades nos queda a'+b'+c' = a+b+c por lo tanto el baricentro de los dos triángulos es común: g = (a+b+c)/3 = (a'+b'+c')/3.