1516. Por la tangente... RESOLUCIÓN

    Sean dos circunferencias de centros E y F, que admiten tangentes exteriores en los puntos de tangencia A, B, C y D, como se muestra en el dibujo. Sean G y H las intersecciones de los segmentos que unen los centros de cada circunferencia con los puntos de tangencia de la otra circunferencia. Entonces, la suma de las áreas de los triángulos ABG y CDH es igual al área del cuadrilátero EGFH.

    Nos encontramos este problema pinchado en el corcho... Lo firmaba Pepe Chapuzas... Es fácil ¿verdad? Resuélvelo sin salirte por la tangente...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla lo explicó en la pizarra:

    Mire, profe. Los radios AE y BF son perpendiculares al segmento AB, porque este es tangente común de las circunferencias. Por lo tanto, el cuadrilátero ABFE es un trapecio rectángulo. Así, los triángulos ABE y AFE tienen la misma base AE y la misma altura AB y por tanto la misma área. Ahora...

área(ABG) = área(ABE) – área(AGE) = área(AFE) – área(AGE) = área(EGF)

y por simetría se tiene el resultado...

    ¿Algún otro resultado con tangentes?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso se acordó del teorema de Monge.

    Mire, profe. Si tenemos tres círculos de radios diferentes y podemos trazar las parejas de tangentes exteriores a cada par de círculos, entonces los tres puntos de intersección de las parejas de tangentes están alineados.

    La demostración es fácil si nos imaginamos que los círculos son esferas y la recta roja es la intersección de los dos planos tangentes exteriores a las tres esferas. Cada pareja de tangentes representa los conos tangentes a cada par de esferas y tangentes a los dos planos. Los tres puntos alineados son los vértices de los conos...

    ¡Hay que tener visión espacial!

    Queda para el lector imaginar que ocurre cuando hay esferas del mismo tamaño, si las tres esferas comparten el mismo cono y otras situaciones límite...