1517. El teorema de Desargues. RESOLUCIÓN

    Pepe Chapuzas enunció el teorema de Desargues:

    Dos triángulos son coaxiales si y solo si son copolares...

    Explica este enunciado...

SOLUCIÓN

    He aquí la explicación de Nina Guindilla...

    Mire, profe. Si tenemos dos triángulos ABC y DEF, decimos que son copolares si las rectas AD, BE y CF concurren en un punto (el polo); y decimos que son coaxiales si los puntos de intersección de las rectas AB∩DE, AC∩DF y BC∩EF se alinean sobre una recta (el eje).

    Al lector le pasará lo que me pasó a mí... El dibujo de Pepe no tenía letras... por lo que tuve que localizar los seis puntos A, B, C, D, E y F. Ahora ya tenía sentido el enunciado del teorema de Desargues. Solo faltaba la demostración...

    Mire, profe. A veces para ver las cosas del plano tenemos que volar y contemplarlo desde otra perspectiva: desde la tercera dimensión... Lo que dibujamos es una proyección del espacio sobre el plano del papel (o de la pizarra o de la pantalla...).
    Si trazamos tres semirrectas desde un mismo punto se puede considerar (con visión tridimensional) que estamos representando un octante con sus tres ejes coordenados y sus tres planos coordenados (como las paredes y el suelo en una esquina... aunque no han de ser necesariamente perpendiculares entre sí).

        Si cortamos un plano con los planos coordenados tenemos uno de los triángulos copolares...

       Si cortamos otro plano tenemos el otro triángulo...

    Si trazamos las rectas de corte de los dos planos con los tres planos coordenados en los otros octantes (esto es, si prolongamos los lados de los triángulos) obtenemos sus puntos de intersección, que estarán en la recta intersección de esos dos planos... como se ve en el dibujo de Pepe. Con ello se demuestra que los triángulos copolares son coaxiales... 

    Si empezamos esta interpretación a partir de la recta intersección de los planos y terminamos con la intersección de los tres ejes coordenados, invirtiendo el proceso, demostramos que los triángulos coaxiales son copolares...

    Todo cuadra si las rectas tienen intersección, esto es, si no son paralelas... ¿Qué pasaría en caso contrario?

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso miró el problema desde más "lejos" todavía... ¡Desde el infinito!

    Mire. profe. En plano proyectivo, las rectas paralelas se cortan en un punto ideal del infinito. Así, a cada dirección le corresponde uno de esos puntos ideales y..., lo más sorprendente..., los infinitos puntos ideales están alineados sobre la recta ideal del infinito...!

    De esta forma. en el plano proyectivo las rectas paralelas no son ninguna excepción para el teorema de Desargues...  Incluso el siguiente ejemplo es válido:

    No hay que olvidar que, en sentido estricto, no hay rectas paralelas en el plano proyectivo ya que todas las rectas se cortan aunque sea en puntos ideales... Lo que ha hecho Yoyó es pasar del plano euclídeo al plano proyectivo añadiendo la recta ideal de puntos ideales... ¡Qué buena idea!