662. Fórmulas de adición. RESOLUCIÓN

    El orden de los sumandos no altera...

    No falla. Siempre que digo esto en clase cae alguno que responde "el producto"...  Esta vez fue Pepe Chapuzas, así que le mandé que escribiera en una tabla los nombres de las operaciones, los operandos y los resultados... Pepe escribió lo siguiente:

Operación	Operandos	Resultado
Adicción	Sumandos	Suma o total
Sustracción	Minuendo y sustraendo	Resta o diferencia
Multiplicación	Factores	Producto
División	Dividendo y divisor	Cociente
Potenciación	Base y exponente	Potencia
Radicación	Radicando e índice	Raíz

    Pepe seguía teniendo problemas con la suma: había puesto "adicción" en vez de "adición"... Además, en la tabla faltaba la séptima operación (Pepe se había olvidado de los logaritmos). ¿Quieres completar la tabla? ¿Por qué para la adición y la multiplicación hay un solo nombre para los operandos?
    Hablando de adición...  En Trigonometría habíamos visto las fórmulas del seno y del coseno de la suma de ángulos: sen(A+B) = senA·cosB+cosA·senB y cos(A+B) = cosA·cosB–senA·senB.

Pepe, para remedar sus errores, salió a la pizarra de nuevo para demostrar las identidades trigonométricas. ¿Quieres demostrarlas también tú?

SOLUCIÓN

    Profe, mire. La operación de logaritmación se realiza con una base y un logaritmando...

    ¡Vaya nombrecitos!

    Y para la adición y para la multiplicación solo hay un nombre para los operandos porque son operaciones conmutativas...

    Nina Guindilla sabía lo que decía... A ver qué ha hecho con los teoremas de adición...  

sen(a+b) = BE/AE = (BF+FB)/AE = BF/AE + FE/AE =

= BF/AD · AD/AE + FE/ED · ED/AE = 

= CD/AD · AD/AE + FE/ED · ED/AE = sena·cosb + cosa·senb

cos(a+b) = AB/AE = (AC–BC)/AE = AC/AE – BC/AE =

= AC/AD · AD/AE – BC/ED · ED/AE = 

= AC/AD · AD/AE – FD/ED · ED/AE = cosa·cosb – sena·senb

    Mire, profe. Estas demostraciones (que vienen en nuestro libro de texto) dibujan los ángulos a, b y a+b agudos para poder escribir las razones trigonométricas a partir de lados de triángulos rectángulos... ¡y se quedan tan tranquilos! Habría que justificar por qué estas fórmulas valen para todo tipo de ángulos... Voy a justificar solamente el seno de una suma si a, b son agudos pero a+b es obtuso... En tal caso 180º–a–b es agudo y 90º–a y 90º–b también...

sen(a+b) =

= sen(180º–a–b) =

= sen(90º–a + 90º–b) =

= sen(90º–a)·cos(90º–b) + cos(90º–a)·sen(90º–b) =

= cosa·senb + sena·cosb =

= sena·cosb + cosa·senb

    Nina Guindilla continuó...

    Profe, mire. Flipé cuando vi por primera vez la relación que tienen las fórmulas de adición con la aritmética de los números complejos: (cosa+i·sena)·(cosb+i·senb) = cos(a+b)+i·sen(a+b). De donde se obtiene   sen(a+b) = sena·cosb + cosa·senb    y   cos(a+b) = cosa·cosb – sena·senb   a la vez (matando dos pájaros de un tiro).

    Con las fórmulas de adición, calcula sen18º. (Olvídate de la calculadora.)

RESOLUCIÓN

    Mire, profe. Con las fórmulas de adición tenemos las fórmulas del ángulo doble:

sen(2a) = sen(a+a) = 2·sena·cosa

cos(2a) = cos(a+a) = cos²a – sen²a = 1 – 2·sen²a

    Y las del ángulo triple, en particular...

cos(3a) =
= cos(a+2a) =
= cosa·cos(2a) – sena·sen(2a) =
= cosa·(1 – 2·sen²a) – sena·(2·sena·cosa) =

= cosa·(1 – 2·sen²a – 2·sen²a) =

= cosa·(1– 4·sen²a)

    Que también se puede obtener con la fórmula de De Moivre:

(cos(3a)+i·sen(3a)) = (cosa+i·sena)³ = cos³a+3i·cos²a·sena–3·cosa·sen²a–i·sen³a

    De donde

cos(3a) =

= cos³a – 3·cosa·sen²a =

= cosa · (cos²a – 3·sen²a) =

= cosa · (1 – sen²a – 3·sen²a) =

= cosa·(1– 4·sen²a)

    El caso es que como 2·18º = 36º y 3·18º = 54º son ángulos complementarios (36º+54º = 90º), entonces tenemos que sen(2·18º) = cos(3·18º), esto es, 2·sen18º·cos18º = cos18º·(1 – 4·sen²18º) que, dividiendo entre cos18º (ya que no es 0) nos da 2·sen18º = 1 – 4·sen²18º, esto es, sen18º es una solución de la ecuación 4x²+2x–1 = 0. Por lo tanto, sen18º = (–1+√5)/4 (la otra solución no vale porque es negativa).