992. Una razón irracional. RESOLUCIÓN

    Profe, mire. El cuadrado de un número par es un número par y el cuadrado de un número impar es un número impar. La prueba es muy sencilla... Si un número es par, entonces termina en 0, 2, 4, 6 u 8 y su cuadrado terminará en 0, 4, 6, 6 o 4 respectivamente. Y si es impar, entonces termina en 1, 3, 5, 7 o 9 y su cuadrado terminará en 1, 9, 5, 9 o 1 respectivamente...

    Pepe Chapuzas estaba orgulloso de haber deducido algo... que todo el mundo sabía...
    Aprovechando su "demostración" le hablé de la irracionalidad de √2. Le recordé que √2 era el valor de la razón entre la diagonal y el lado de un cuadrado como ya habíamos visto con el teorema de Pitágoras. ¡Era una razón irracional! Y añadí que esto se podía demostrar por reducción al absurdo, es decir, suponiendo que √2 fuera racional y llegando a una contradicción... Pepe estuvo muy atento a la explicación: esto es lo que apuntó en su cuaderno...

    Si √2 fuera racional, se podría escribir como una fracción irreducible, o sea, √2 = a/b  (siendo a y b coprimos)... 
    Por lo tanto, elevando al cuadrado, a²/b² = 2, 
y despejando, a² = 2b²,    (*) 
por lo tanto a² sería par... y a también,
o sea, a = 2c, para cierto número natural c.
por tanto, a² = 4c²,    (**)
e igualando (*) y (**) tenemos 2b²  = 4c², y despejando, b²  = 2c², 
y por lo tanto b² sería par... y b también...
    Pero si a y b fueran ambos pares, no serían coprimos... y la fracción irreducible a/b sería una fracción reducible (se podría simplificar dividiendo por 2)... en evidente contradicción...
    Por todo ello, √2 no se puede escribir como una fracción irreducible... y no es un número racional... sino irracional....

    Ahora te toca a ti. Demuestra que √3 es un número irracional.

SOLUCIÓN

    Mire, profe. Si √3 fuera racional, habría dos números naturales, a y b, primos entre sí tales que √3 = a/b, por lo que a²/b² = 3, y a² = 3b², por lo que a²  y a serían múltiplos de 3, o sea, a = 3c, y por lo tanto a² = 9c², o sea, b² = 3c², por lo que b²  y b serían múltiplos de 3, lo que contradice la hipótesis de que a y b eran primos entre sí.

    La demostración de Nina Guindilla era similar a la de √2. Parecería que se podría aplicar el mismo argumento para cualquier √n, pero hay raíces cuadradas de naturales que son racionales, (√4 sin ir más lejos). ¿Dónde fallaría el argumento para la "demostración" de √4?

RESOLUCIÓN

    Si √4 = a/b entonces a²/b²  = 4 y a² = 4b². De aquí se deduce que a² es múltiplo de 4 pero a puede ser múltiplo de 2 por lo que el hilo argumental se interrumpe...

    Yoyó Peluso es racional...