919. Los cuadrados del ajedrez. RESOLUCIÓN

    Había mandado contar cuántos cuadrados había en un tablero del ajedrez. Alguien respondió demasiado deprisa que eran 8x8=64... Estaba claro que esa no era la respuesta acertada. Había claramente 64 casillas en el tablero, pero además había cuadrados formados por 4 casillas, por 9 casillas... El propio tablero era un cuadrado más... Entonces Pepe Chapuzas, presumiendo de sus conocimientos matemáticos contestó:

   Profe, la solución es el octavo número piramidal cuadrado...

    Pepe se sacó un polinomio de tercer grado de la manga como fórmula y dio con la solución... Los compañeros no entendieron nada la respuesta y tuve que reprocharle a Pepe su actitud. Como "castigo" le mandé que justificara esa fórmula y que demostrara que valía para cualquier tablero de NxN casillas. Pepe, que era muy hábil con el método de inducción dio una clase magistral...

    Investiga qué es un número piramidal cuadrado. Busca y demuestra su fórmula por el método de inducción y justifica por qué nos da el número de cuadrados que hay en un tablero de NxN casillas.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla buscó cuáles eran los números piramidales cuadrados...

    Profe, mire. Un número piramidal cuadrado, como su propio nombre indica, es una suma de números cuadrados consecutivos: 1+4+9+16+25+36+... Si hay n sumandos, obedece a la fórmula

n³/3 + n²/2 + n/6

    Para demostrarla utilizo el principio de inducción matemática:
    La fórmula funciona para n=1 pues 1/3+1/2+1/6 = 2/6+3/6+1/6 = 6/6 = 1. (Incluso funcionaría para el caso n=0 ya que una "suma" de 0 sumandos sería 0.)
    Si suponemos que la fórmula funciona para n–1 sumandos (cuadrados consecutivos) y sumamos el siguiente cuadrado, n², tenemos: 

(n–1)³/3 + (n–1)²/2 + (n–1)/6 + n² =

= n³/3 – n² + n –1/3 + n²/2 – n + 1/2 + n/6 – 1/6 + n² =

= n³/3 + n²/2 + n/6. QED.

    Debemos tener en cuenta que en un tablero de ajedrez hay...

    1 cuadrado de lado 8 casillas (el propio tablero),

    4 cuadrados de lado 7 casillas,

    9 cuadrados de lado 6 casillas,

    16 cuadrados de lado 5 casillas, etc.

    Así pues, la solución de Pepe es ahora evidente: el número de cuadrados del tablero de ajedrez es el octavo número piramidal cuadrado... Por supuesto, se puede calcular utilizando la fórmula: 8³/3 + 8²/2 + 8/6 = 204.
    Para tableros cuadrados de otros tamaños, el razonamiento es similar...

    ¿Y si el tablero no fuera cuadrado? Investiga cuántos cuadrados habrá en un tablero rectangular de MxN casillas cuadradas.

RESOLUCIÓN

    Mire, profe... Si M>N habría...
    M–N+1 cuadrados de lado N casillas.
    2·(M–N+2) cuadrados de lado N–1 casillas.
    3·(M–N+3) cuadrados de lado N–2 casillas.
    ...
    N·M cuadrados de lado 1 casilla.
    ...
    La suma de todos es –N³/6 + N²·M/2 + N·M/2 + N/6. Esta fórmula generaliza el caso resuelto por Nina (M=N).

    Yoyó Peluso nos desveló sus "cálculos secretos" para hallar esta fórmula...

    Mire, profe. El término general de una sucesión polinomial se puede calcular con las diferencias sucesivas... 

    Hagamos los cálculos...

(M–N+1)·N + (M–N+3)·N·(N–1)/2 + 2·N·(N–1)·(N–2)/6 =

= (MN–N²+N) + (MN²–MN–N³+N²+3N²–3N)/2 + (N³–3N²+2N)/3 =

= –N³/6 + MN²/2 + MN/2 + N/6