914. Un triángulo de Kepler. RESOLUCIÓN

    Pepe Chapuzas ha propuesto un ejercicio en clase y nadie lo ha resuelto todavía. ¿Quieres ser el primero?

    Los lados de un triángulo rectángulo de área 1m2 están en progresión geométrica. ¿Cuánto mide el perímetro de este triángulo?

    Solo añadí que los triángulos rectángulos con lados en progresión geométrica se llamaban triángulos de Kepler...

SOLUCIÓN

    Veamos cómo ha resuelto Nina Guindilla el ejercicio:

    Si los lados están en progresión geométrica de razón R, y C es el cateto menor, entonces el otro cateto mide C·R y la hipotenusa C·R². Por el teorema de Pitágoras C² + C²·R² = C²·R⁴. Es decir, que R⁴ – R² – 1 = 0, por lo que R² = (1+√5)/2 = φ = 1,618 (la razón áurea). Así pues, R = √φ = 1,272. Por otro lado, el área del triángulo mide C·C·R:2 = 1, por lo que C = √(2:R) = 1,254 y el perímetro será C + C·R + C·R² = C·(1+R+φ) = 1,254·(1+1,272+1,618) = 4,878 metros.

    Sean A y B dos números reales y C, D y E sus medias aritmética, geométrica y armónica. Demuestra que si el triángulo de lados C, D y E es rectángulo, entonces es de Kepler. Calcula A y B para el triángulo de Pepe Chapuzas.

 

RESOLUCIÓN

 

    Mire, profe. La media geométrica de A y B, D = √(A·B), es también la media geométrica de las medias aritmética C y armónica E porque C·E = (A+B)/2 · 2·A·B/(A+B) = A·B = D², por lo que C, D y E están siempre en progresión geométrica... y si C, D y E son lados de un triángulo rectángulo, este será de Kepler...

    Como C > D > E, en el triángulo de Pepe, C = 1,254·1,618 = 2,029 , por lo que A+B = 2·2,029 = 4,058, y D = 1,254·1,272 = 1,595, por lo que A·B = 1,595² = 2,544. Así pues, A y B son las soluciones de x² – 4,058x + 2,544 = 0, o sea, A = 0,775 y B = 3,283.