936. Una extraña flor. RESOLUCIÓN

    Pepe Chapuzas estaba dibujando una extraña flor en su cuaderno y le tuve que recordar que no estábamos en clase de Dibujo sino de Matemáticas. Rápidamente me comentó que era un dibujo para ilustrar el reto que iba a plantear a la clase para el fin de semana.

    Alrededor de un polígono irregular convexo de N lados (amarillo) se adosan N triángulos equiláteros (verdes) que determinan entre sí N ángulos (rojos). ¿Cuánto suman estos ángulos?

    Obtén una fórmula que dependa de N.

SOLUCIÓN

    Veamos cómo fue deshojando esta flor Nina Guindilla...

    Profe, mire. Si el polígono tiene N vértices, la suma de sus ángulos internos es (N–2)·180º = N·180º – 360º. Todos estos ángulos internos son convexos porque el polígono es convexo, pero en realidad cada vértice determina dos ángulos: uno convexo (el de dentro) y otro cóncavo (el de fuera). Para cada ángulo convexo Â del polígono, el cóncavo correspondiente medirá 360º – Â, y por tanto, el ángulo rojo correspondiente será 240º – Â. Así, la suma de todos los ángulos rojos valdrá N·240º – N·180º + 360º = N·60º + 360º = (N+6)·60º.

    Prueba que la suma de los ángulos internos de un polígono es (N–2)·180º.

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso sabía que, por muy extraño que fuera un polígono, este se podía triangular uniendo vértices con segmentos (que no se cortaran más que en los vértices)...

    Profe, un polígono de N lados está formado por N–2 triángulos (con vértices en los vértices del polígono) por lo que la suma de los ángulos internos del polígono es la suma de los ángulos internos de todos los triángulos, y como la suma de los ángulos de un triángulo es 180º...