Pepe Chapuzas ha planteado una interesante cuestión. Investiga el asunto y me cuentas lo que descubras. Espero que la respuesta sea igual de interesante...
SOLUCIÓN
A Nina Guindilla la cuestión no le parecía nada sencilla, pero el ejercicio era demasiado hermoso...
Profe, los ciclos de polígonos tienen simetría rotacional. Si hay n polígonos, el ángulo 2π/n es ángulo de simetría...
Consideremos un polígono regular de L lados (L>2) y tomemos 2 de esos lados. Si hay V vértices entre estos lados por el camino más corto (0<V<L/2), el ángulo sería π·(L–2V)/L. Igualando las dos expresiones obtenemos π·(L–2V)/L = 2π/n, por lo que n = 2L/(L–2V). Cuando el valor de esta fracción sea un número natural habrá un ciclo de n polígonos... Voy a hacer una tabla:
L>2
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0<V<L/2
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n = 2L/(L–2V)
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¿ciclo?
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3
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1
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6
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sí
|
4
|
1
|
4
|
sí
|
5
5
|
1
2
|
10/3
10
|
no
sí
|
6
6
|
1
2
|
3
6
|
sí
sí
|
7
7
7
|
1
2
3
|
14/5
14/3
14
|
no
no
sí
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8
8
8
|
1
2
3
|
8/3
4
8
|
no
sí
sí
|
9
9
9
9
|
1
2
3
4
|
18/7
18/5
6
18
|
no
no
sí
sí
|
10
10
10
10
|
1
2
3
4
|
5/2
10/3
5
10
|
no
no
sí
sí
|
11
11
11
11
11
|
1
2
3
4
5
|
22/9
22/7
22/5
22/3
22
|
no
no
no
no
sí
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12
12
12
12
12
|
1
2
3
4
5
|
12/5
3
4
6
12
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no
sí
sí
sí
sí
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Demuestra la fórmula que da Nina para el ángulo determinado por dos lados (prolongados) de un polígono: π·(L–2V)/L. (Si V=1 los lados del polígono son contiguos y la fórmula nos da el ángulo interior del polígono.)
Dibuja algunos de los ciclos de la tabla.
RESOLUCIÓN
Profe, mire. Si prolongamos dos lados no contiguos de un polígono y formamos un ángulo, el ángulo será exterior a la circunferencia circunscrita al polígono, y medirá la semidiferencia de los ángulos centrales de los arcos que abarca, esto es, π·(L–V–1)/L – π·(V–1)/L = π·(L–2V)/L.
Yoyó Peluso dibujó los ciclos de hexágonos:
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