892. El gran panal. RESOLUCIÓN

   ¡Otro reto de Pepe Chapuzas en el que las abejas son las protagonistas!

    Mis abejas tardan 1 año en construir el gran panal... Van construyendo las celdillas tal como se muestra en la figura... Al cabo de 365 días... ¿Cuántas aristas tendrá el borde del panal? ¿Cuántas celdillas tendrá todo el panal?

    Reselve el reto. Espero que tardes en resolver este reto menos tiempo que las abejas en hacer el gran panal...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla contó las aristas del borde y las celdillas que tenía el panal los primeros días y "descubrió" sendas fórmulas con las que resolvió el reto:

    Número de aristas en el borde: 6, 18, 30, 42, 54, ... , 12n–6 ...
    Número de celdillas: 1, 7, 19, 37, 61, ... , 3n²–3n+1 ...
    El día 365º habrá 12·365–6 = 4374 aristas en el borde y 3·365²–3·365+1 = 398581 celdillas.

    Efectivamente se trataba de un gran panal...
    Demuestra las fórmulas "descubiertas" por Nina utilizando el principio de inducción matemática...

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso "indujo"...

    Profe, mire. Las fórmulas funcionan para el caso n=1 pues el primer día hay 12·1–6 = 6 aristas y 3·1²–3·1+1 = 1 celdilla. Si suponemos que las fórmulas funcionan para el día n–1, esto es, si hay 12(n–1)–6 = 12n–18 aristas en el borde y 3(n–1)²–3(n–1)+1 = 3n²–9n+7 celdillas en el panal (hipótesis de inducción), entonces al día siguiente (día n), habrá 2 aristas más por cada lateral del panal, es decir, 12 aristas más en el nuevo borde, o sea, 12n–18+12 = 12n–6, y habrá n–1 celdillas más por cada lateral, es decir, 6n–6 celdillas nuevas, en total, 3n²–9n+7+6n–6 = 3n²–3n+1.

    Pero Yoyó también "dedujo" las fórmulas...

    Mire, profe. La sucesión del número de aristas del borde es una progresión aritmética porque la diferencia entre términos consecutivos es siempre 12: el término general es 6+12·(n–1) = 12·n–6.  La sucesión del número de celdillas es polinomial de segundo grado porque las diferencias entre términos consecutivos (6, 12, 18, 24...) están en progresión aritmética de diferencia 6: el término general es 1+6·(n–1)+6·(n–1)·(n–2):2 = 3n²–3n+1. (O también como suma de términos de una progresión aritmética: 1+6·(n–1)·n:2 = 3n²–3n+1.)

    Y además de otra manera: con interpolación lineal y cuadrática respectivamente...