903. Los números metálicos. RESOLUCIÓN

    Un día hablé de los cuadriláteros cíclicos (o inscribibles en una circunferencia) y del teorema de Tolomeo (que afirma que en un cuadrilátero cíclico, el producto de las diagonales es igual a la suma de los productos de los lados opuestos). Al día siguiente comprobé que a Pepe Chapuzas le interesó la lección...

    Profe, mire. Estaba jugando con la mesa camilla (aprovechando que es circular y sin que me viera mi madre) comprobando el teorema de Tolomeo... En seguida me di cuenta de que todos los rectángulos eran cíclicos y entonces el teorema de Tolomeo se conviertía en el teorema de Pitágoras:

    Tuve que recordarle a Pepe que no se jugaba con las mesas camillas. En fin, solo a Pepe Chapuzas se le puede ocurrir eso de jugar con los teoremas... Añadí a su observación que también los trapecios isósceles eran cíclicos...

    Utiliza el teorema de Tolomeo para calcular la diagonal de un pentágono regular de lado 1. (Si haces bien los cálculos obtendrás el llamado número de oro.)

    Busca información sobre el número de oro, que es el más famoso de los números metálicos...
    Busca información sobre el número de plata, el número de bronce y otros números metálicos...
    Haz un bonito trabajo con toda esta información y me lo envías por correo electrónico.

SOLUCIÓN

    Los cuadriláteros cíclicos llamarón la atención de Nina Guindilla...

    Profe, mire...
    a) En el rectángulo rojo (del pentágono regular) tenemos d2 = d + 1 aplicando el teorema de Tolomeo, o sea, d2 – d – 1 = 0. Esta ecuación de segundo grado tiene una solución positiva d = (1+√5)/2. ¡Este es el número de oro!
    b) El número de oro aparece constantemente en la naturaleza (y en el arte, que suele imitar a la naturaleza... El número de plata es 1+√2, el número de bronce es (3+√13)/2, el número de níquel es (1+√13)/2 y el número de platino es 1+√3...

    Nina, en su trabajo, averiguó que los números metálicos son soluciones de ecuaciones de segundo grado con coeficientes enteros. ¿Cuáles?

RESOLUCIÓN

    Yoyó nunca se hubiera imaginado que existían números metálicos...

    Mire, profe. Si estos números metálicos son soluciones de ecuaciones de segundo grado con coeficientes enteros (y por tanto reales) tiene que haber otras soluciones reales que voy a llamar números "antimetálicos". Así el número "antiáureo" será (1–√5)/2... Para hallar las ecuaciones de segundo grado solo hay que recordar que si el coeficiente principal es 1, entonces el coeficiente del término de primer grado es el opuesto de la suma de las raíces y el término independiente es el producto de las raíces... Ahora es fácil:

Ecuación de oro: x2 – x – 1 = 0.

Ecuación de plata: x2 – 2x – 1 = 0.

Ecuación de bronce: x2 – 3x – 1 = 0.

Ecuación de níquel: x2 – x – 3 = 0.

Ecuación de platino: x2 – 2x – 2 = 0.

    Puedo añadir que al números 2 se le llama número de cobre. Su ecuación es  x2 – x – 2 = 0.