545. SOLUCIÓN de 245. Un trapecio rectángulo

    Profe, mire. Conocemos dos lados de este trapecio rectángulo. De los otros dos lados solo sabemos que son iguales. ¿Cuánto mide el área?

   Hay un positivo esperando para el que resuelva este problemita propuesto por Pepe Chapuzas.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla llamó X y X a los lados desconocidos...

    Profe, mire. Con el teorema de Pitágoras tengo que X² = 3² + (6–X)² = 9 + 36 – 12X + X², por lo tanto X = 45/12 = 15/4. El área del trapecio medirá pues (6+15/4)·3/2 = 117/8 = 14,625cm².

    Nina ha propuesto otro problemita a la clase...

    El área de un triángulo rectángulo mide 30cm², y su perímetro mide 30cm. ¿Cuánto mide la hipotenusa?

    Un positivo para el que lo resuelva. (Dos positivos para el que lo resuelva sin utilizar el teorema de Pitágoras.)

544. SOLUCIÓN de 244. Con o sin soroban

    Había mandado hacer un ejercicio en clase para resolver por parejas. Como había un número impar de alumnos Pepe Chapuzas se quedó solo...

    Profe, no importa, tengo de compañero a mi soroban...

    Se refería a su ábaco japonés... El ejercicio consistía en averiguar un número natural ABCDE de cinco cifras diferentes que verificaba lo siguiente:

    La pareja formada por Pepe y su soroban fue la primera en resolver el ejercicio. Resuélvelo tú ahora (con o sin soroban) y me envías el razonamiento pormenorizado de cómo lo has hecho.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla no detalló sus razonamientos pero sí comentó el orden en el que fue encontrando los valores de las letras...

    Profe, mire... Primero deduje que A = 2. Después descubrí que E = 8. Luego razoné que B = 1. Enseguida obtuve que D = 7. Finalmente conseguí C = 9. La solución es

  21978 · 4 = 87912

 

    Justifica que solo pueden ser esas las cifras y en ese orden, es decir, que la solución es única...

543. SOLUCIÓN de 243. La colina de los caracoles

    Profe, mire. El parque de mi barrio sería completamente llano y horizontal si no fuera por la colina de los caracoles que se levanta en el centro. La colina es perfectamente cónica, es decir, un cono recto de base circular. Todos los años se celebra una carrera de caracoles en la colina. La salida y la llegada están al pie de la colina, en puntos diametralmente opuestos. Este año un caracol hizo el siguiente recorrido: subió desde la salida hasta la cumbre en línea recta y después bajó desde la cumbre hasta la llegada en línea recta también. La longitud de este recorrido fue de 10 metros. Otro caracol menos atlético evitó la colina y dio un rodeo bordeando la base del cono. Este otro recorrido fue de 10 metros también. Finalmente hubo un tercer caracol que encontró el camino más corto. ¿Cuál es la longitud de este camino más corto sabiendo que no hay túneles?

    No tengo que añadir nada a este problema de Pepe Chapuzas...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla sí tenía algo que añadir: la solución.

    Profe, mire. Gracias al primer caracol sabemos que la generatriz del cono mide 5m. Gracias al segundo caracol sabemos que la circunferencia de la base mide 20m. Si desarrollamos el área lateral del cono obtenemos un sector circular de 5m de radio y 20m de arco.

    El ángulo del sector será 20/5 = 4rad. El tercer caracol fue por el camino más corto, que será la cuerda correspondiente a 2rad, es decir, 2·5·sen(2/2) = 8,415m.

    Resuelve este reto que ha propuesto Nina:

    Un caracol sube por un bidón cilíndrico, de 1m de radio y 3m de altura, desde la base inferior hasta la base superior. En vez de ir por el camino más corto ha seguido una trayectoria helicoidal, dando 2 vueltas y media al bidón. ¿Cuántos metros ha recorrido el caracol?

542. SOLUCIÓN de 242. Suma musical

    Este es el criptograma que ha propuesto Pepe Chapuzas para el concurso de criptogramas.

    Se trata de una suma de números naturales de 2 dígitos. El resultado es un número natural de 3 dígitos. Cada letra representa una cifra diferente. ¿A qué cifra corresponde cada letra?

 

SOLUCIÓN

 

    Nina Guindilla dio la nota con una solución...

 

20+71+48+69+59+38=305

 

   Ha resuelto la ecuación musical. De paso ha propuesto un criptograma en forma de sistema de ecuaciones musicales. ¿A qué cifra corresponde cada letra para que se cumplas las tres igualdades?

DO+RE=MI

FA+SI=LA

RE+SI+LA=SOL

541. SOLUCIÓN de 241. Curiosidades aritméticas

    ¿Seguirá ocurriendo esto con números cada vez más largos?

    Pepe Chapuzas ha pinchado en el corcho de clase esta curiosidad aritmética. Es la primera de la colección que vamos a realizar esta semana. Estamos esperando la tuya. Busca una y colabora... Nos vemos.

SOLUCIÓN

    Esta fue la colaboración de Nina Guindilla:

    ¿Cuál es la tuya?

540. SOLUCIÓN de 240. Polígonos naturales, naturalmente

    Profe, mire. Estos polígonos regulares tienen todos un ángulo interior que mide una cantidad entera (un número natural) de grados sexagesimales. Ayer me puse a averiguar cuántos polígonos regulares (y cuáles) comparten esta peculiaridad... pero se me hizo de noche... Y esta mañana tenía demasiado sueño... ¿Me podría echar una mano?

    Parece que a Pepe Chapuzas se le han pegado las sábanas. Ha llegado tarde a clase... y encima con este problema. Igual piensa que así no le voy a poner un retraso en el parte... Al final, él se quedará con su retraso en el parte y el que resuelva su problema se llevará un positivo. ¡Ánimo!

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla partió de la fórmula que nos da el ángulo interior de un polígono regular de N lados: Î =  180º·(N–2):N...

    Profe, voy a despejar el número de lados N...

ηN = 180º·N–360º

(180º–Î)·N = 360º

N = 360º:(180º–Î) = 360º:Ê

    Tengo que buscar divisores naturales Ê de 360º menores que 180º. Ê es el suplementario de Î, (por ejemplo el ángulo exterior o el ángulo central del polígono). Para cada posible valor de Ê tendré una solución, esto es, un polígono regular de N lados cuyo ángulo interior Î mide un número natural de grados sexagesimales... Por lo anterior, se deduce que N tiene que ser un divisor de 360 mayor que 2. Hay 22 en total... 

N	3	4	5	6	8	9	10	12	15	18	20
Î	60º	90º	108º	120º	135º	140º	144º	150º	156º	160º	162º

N	25	30	36	40	45	60	72	90	120	180	360
Î	165º	168º	170º	171º	172º	174º	175º	176º	177º	178º	179º

 
   Prueba que en todo polígono regular, el ángulo central y el ángulo exterior coinciden.

539. SOLUCIÓN de 239. La siesta del 8

    Profe, mire. El ocho sueña que es infinito en vez de ocho cuando echa la siesta...

    El chiste de Pepe Chapuzas era muy viejo y no tuvo demasiado éxito... Entonces le comenté que había un ocho que no podía soñar que era infinito porque no podía dejar de ser ocho ni echando la siesta... Se trataba del ocho (que estaba echando la siesta) determinado por las gráficas de las funciones sen(x) y –sen(x) en el intervalo [–π,π]... Hice un dibujo en la pizarra...

    Pepe exclamó:

    ¡Es por culpa del área que encierra!

 

    Estas curvas se llaman sinusoides. Calcula el área (amarilla) encerrada entre las dos sinusoides...

 

SOLUCIÓN

 

    El cálculo de esta área no suponía para Nina Guindilla ninguna dificultad...

    ¡El área mide 8, profe!

 

    La curva más famosa (entre los matemáticos) con forma de 8 es la lemniscata de Bernoulli... Busca información sobre esta curva y nos lo explicas todo. ¿Cómo sería la ecuación de una lemniscata de Bernoulli que encerrara un área de 8?

538. SOLUCIÓN de 238. El criterio del 11

    Estábamos repasando en clase los criterios de divisibilidad y como ejemplo había que comprobar que 5786 era un múltiplo de 11. Algunos alumnos no se acordaban del criterio del 11 y dividieron directamente 5786 entre 11.

    Los que sí se acordaban del criterio hicieron más o menos lo siguiente:

    Pepe Chapuzas se complicó un poco intentando justificar por qué funcionaba así el criterio del 11. En su cuaderno escribió la siguiente chapuza...

    Leamos despacito el número 5786.
    Cinco mil, setecientos, ochenta, y seis...
    O sea, 5000 + 700 + 80 + 6.
    O sea, 5·1000 + 7·100  + 8·10 + 6.
    O sea, 5·10³ + 7·10² + 8·10 + 6.
    Y si escribimos ahora 10 como los romanos ( 10 = x )
    tenemos 5x³ + 7x² + 8x + 6. ¡Un polinomio! 
    Y también 11 = 10 + 1 = x + 1.
    Así que la división 5786 : 11 se convierte en
    la división de polinomios ( 5x³ + 7x² + 8x + 6 ) : ( x + 1 ).
    Y por el teorema del resto, el resto de esta división será
    5·(–1)³ + 7·(–1)² + 8·(–1) + 6 = – 5 + 7 – 8 + 6 = 0
    que no es otra cosa que el criterio del 11.

    Todo parecía cuadrar... pero a Pepe se le había olvidado que al aplicar el criterio del 11 el resultado no tiene por qué ser 0 sino que puede ser 11 o un múltiplo de 11. ¿Puedes arreglar y terminar esta chapuza de Pepe?
    ¿Cómo se podría aplicar el criterio del 11 con la regla de Ruffini?
    ¿Cuál es el menor múltiplo (natural) de 11 para el que el resultado de aplicar el criterio es 11?
    ¿Y cuáles son los menores múltiplos (naturales) de 11 para los que el resultado de aplicar el criterio es 22, 33, 44...?
    ¿Te atreves a justificar el criterio del 9 al estilo de Pepe Chapuzas?

SOLUCIÓN

    Profe, 209 es el número más pequeño para el que el resultado de aplicar el criterio del 11 es 11. Está claro que no es lo mismo dividir números que polinomios, pues mientras que el resto de dividir 209 entre 11 es 0, el resto de dividir 2x² + 9 entre x + 1 es 11. El teorema del resto me permitiría aplicar el criterio del 11 con la regla de Ruffini...

    El criterio del 9 es parecido al del 11. Se podría hacer con la regla de Ruffini pero ahora dividiendo entre x – 1 (que según Pepe sería 10 – 1  = 9). Probar que 243 es divisible entre 9 con la regla de Ruffini sería...

    Nina Guindilla no nos ha dicho cuáles son los múltiplos (naturales) menores para los que el resultado de aplicar el criterio del 11 es, 22, 33, 44, etc. ¿Lo investigas?

537. SOLUCIÓN de 237. La ecuación intrusa

    Había mandado una colección de ecuaciones con radicales (raíces cuadradas) para entregar y se me coló una con raíces cúbicas...

    La mayoría de mis alumnos contestó que de ese tipo no se habían visto, pero Pepe Chapuzas empezó de la siguiente manera:

    Si para eliminar las raíces cuadradas elevamos al cuadrado, para eliminar las raíces cúbicas habrá que elevar al cubo...

    Después de varios intentos (había muchos tachones) lo consiguió...
    Demuestra que tú también puedes hacerlo...

SOLUCIÓN
 
    Nina Guindilla empezó despejando un radical...

∛(1729 – x) = 19 – ∛x

 y elevando al cubo los dos miembros de la igualdad...

1729 – x = 6859 – 1083∛x + 57∛x² – x

57∛x² – 1083∛x + 5130.

Esta es una ecuación de 2º grado en ∛x ...

∛x = (1083 ± √3249)/114 = (1083 ± 57)/114

x = (1083 ± 57)³/114³

x₁ = 1000  y  x₂ = 729

    Comprueba que las dos soluciones son válidas en la ecuación inicial... 

536. SOLUCIÓN de 236. Una extraña flor

    Pepe Chapuzas estaba dibujando una extraña flor en su cuaderno y le tuve que recordar que no estábamos en clase de Dibujo sino de Matemáticas. Rápidamente me comentó que era un dibujo para ilustrar el reto que iba a plantear a la clase para el fin de semana.

    Alrededor de un polígono irregular convexo de N lados (amarillo) se adosan N triángulos equiláteros (verdes) que determinan entre sí N ángulos (rojos). ¿Cuánto suman estos ángulos?

    Obtén una fórmula que dependa de N.

SOLUCIÓN

    Veamos cómo fue deshojando esta flor Nina Guindilla...

    Profe, mire. Si el polígono tiene N vértices, la suma de sus ángulos internos es (N–2)·180º = N·180º – 360º. Todos estos ángulos internos son convexos porque el polígono es convexo, pero en realidad cada vértice determina dos ángulos: uno convexo (el de dentro) y otro cóncavo (el de fuera). Para cada ángulo convexo Â del polígono, el cóncavo correspondiente medirá 360º – Â, y por tanto, el ángulo rojo correspondiente será 240º – Â. Así, la suma de todos los ángulos rojos valdrá N·240º – N·180º + 360º = N·60º + 360º = (N+6)·60º.

    Prueba que la suma de los ángulos internos de un polígono es (N–2)·180º.

535. SOLUCIÓN de 235. ¡A lo bruto!

    Había mandado para casa un ejercicio de progresiones. Se trataba de calcular cuánto sumaban los números de las páginas de un libro. Se suponía que había que utilizar las fórmulas que se habían explicado, sin embargo Pepe Chapuzas lo hizo a lo bruto...

    Y como lo hizo a lo bruto el resultado era incorrecto. ¡Se había saltado una página! ¿Cuántas páginas tenía el libro y cuál se había saltado Pepe?

SOLUCIÓN

    Profe, mire. La suma de los N primeros números naturales es N(N+1)/2 porque se trata de una progresión aritmética de diferencia 1... La ecuación N(N+1)/2 = 394000 no tendrá solución natural por culpa de Pepe que se ha comido una página... Así que...

N(N+1)/2 > 394000. 

N²+N – 788000 > 0

N > (–1+√3152001)/2 = 887,2

    Por lo tanto había 888 páginas el el libro. La suma correcta sería 888·889/2 = 394716... Por lo tanto la página que se salto Pepe fue la 716.

    Nina Guindilla además ha calculado la suma de las páginas pares e impares por separado. ¿Cuánto dan?

534. SOLUCIÓN de 234. Morse y los mayas

    Mientras pasaba lista en clase empecé a oír un ruidito de fondo que parecía un telégrafo. Agucé el radar (que hemos desarrollado los profes) para localizar la procedencia del telégrafo y resultó ser Pepe Chapuzas. Le llamé la atención... Como disculpa dijo que se había despistado ensayando el código Morse... Le pregunté por curiosidad qué estaba diciendo en código Morse y me entregó este papelito con puntos y rayas...

    Empecé la clase comentando que los mayas utilizaban puntos y rayas para representar números... Como "castigo" le mandé a Pepe que escribiera el número 6527775 en notación maya.

    Puedes echarle una mano a Pepe enviándome tú la solución...
    Por cierto... ¿Qué estaba diciendo Pepe en código Morse?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla replicó:

    Profe, lo que estaba diciendo Pepe era "CHAPUZAS", pero el otro día estaba diciendo "GUINDILLA"...
    Los mayas tenían un sistema de numeración mixto. Por un lado era vigesimal posicional y por otro era quinario. Necesitaban 20 "cifras" para representar sus números. El "0" lo representaban con una concha y las demás "cifras" con el sistema quinario de puntos (unos) y rayas (cincos). La escritura era vertical descendente... Lo primero que hay que averiguar son las cifras vigesimales, para lo cual vamos dividiendo sucesivamente por 20... y obtenemos los restos 15, 8, 19, 15, 0 y 2. La comprobación sería 2·20⁵+15·20³+19·20²+8·20+15 = 6527775. Ahora hay que escribir cada "cifra" maya:

    ¿Cómo suena "GUINDILLA" en código Morse?

    ¿Qué número escribieron los mayas en esta inscripción?

533. SOLUCIÓN de 233. Un enlace geométrico

    Un cuadrado y un círculo están enlazados. Si quieres saber lo que esto significa solo tienes que echar un vistazo al dibujito. 

    Si el área del circulo es de 1 metro cuadrado... ¿Cuánto mide el área del cuadrado?

    Resuelve este pequeño reto de Pepe Chapuzas y me envías el resultado con todas las operaciones. Y si te ha parecido fácil puedes resolver el siguiente enlace... Si el área del triángulo equilátero es 1 metro cuadrado... ¿Cuánto mide el área del círculo?

SOLUCIÓN

    Profe, mire. Fíjese en el segmento circular que se encuentra debajo del cuadrado... Su cuerda "C" es el lado del cuadrado, y su flecha "F" es el diámetro "D" del círculo menos el lado del cuadrado, es decir, F = D – C . Por otro lado, la fórmula de la flecha "F" a partir de la cuerda "C" y del diámetro "D" del círculo es F = (D – √(D²–C²))/2. Igualando las dos ecuaciones nos queda D–2C=√(D²–C²), y elevando al cuadrado, D²+4C²–4DC = D²–C², y simplificando, 5C = 4D, o sea, C = 4D/5. Como el círculo tiene área 1 = π·D²/4, el diámetro mide D = 2/√π, por lo que C = 8/5/√π, y el área del cuadrado medirá C² = 64/25/π = 0,815 m².

    Demuestra la fórmula de la flecha (sagita), detalla todos los cálculos de Nina Guindilla y resuelve el segundo enlace geométrico. (Este es más fácil.)