758. Los quesos de Tic y Tac (2ª parte). RESOLUCIÓN

    El mal tiempo insistía y Pepe Chapuzas con sus historias también:

    La última vez que visité a los ratoncillos Tic y Tac estaban alborotados. Don Arquímedes les había explicado por fin los volúmenes... Pero no estaban alborotados por eso sino porque habían fabricado una máquina para resolver ecuaciones de tercer grado siempre que las soluciones estuvieran comprendidas entre –10 y 10 (esta limitación se debía a la escasez de queso). En realidad la máquina consistía en una balanza con dos brazos rectos y cuatro platillos. Los brazos eran sencillamente una regla numerada. A la izquierda estaban los números negativos, –1, –2, –3..., y a la derecha los positivos, 1, 2, 3... En el fiel estaba el 0. Me fueron explicando el funcionamiento de veras entusiasmados... Me dijeron que tenían tres quesos y que los tres medían 10 cm de altura. El primer queso tenía forma de pirámide egipcia y el cuadrado de la base era de 300 cm². El segundo tenía forma de escuadra (o medio sándwich) de 1 cm de espesor y estaba apoyado sobre el canto más largo. El tercero tenía forma de tiza y la base era de 1 cm². Con las fórmulas de don Arquímedes habían calculado que si rebajaban x cm la altura de los tres quesos mediante un corte horizontal, entonces los quesos menguaban x³ cm³, x² cm³ y x cm³ respectivamente. Había además un cuarto queso pequeñito: era un cubito de 1 cm³ de volumen que, según me advirtieron, no se podía cortar en absoluto...

    Llegó la hora de poner un ejemplo: x³ – 8x² + 5x + 14 = 0. Entonces Tic y Tac colgaron los platillos en los números 1, –8, 5 y 14 de la regla, que eran los coeficientes de la ecuación y calibraron la balanza. El quesito cúbico lo pusieron en el platillo del 14. Después fueron cortando lonchas superfinas de los otros tres quesos horizontalmente. Ponían una loncha del primer queso en el platillo del 1, una loncha del segundo queso en el platillo del –8 y una loncha del tercer queso en el platillo del 5. Repitieron el proceso hasta que la balanza se equilibró. Los quesos habían bajado 2 cm. Entonces entendí. El queso de los platillos hacía palanca en los brazos de la balanza y la ecuación representaba la suma de los momentos de fuerza. Por tanto la solución era x = 2. Siguieron haciendo lonchas y llenando los platillos. La balanza se desequilibró al principio pero se equilibró de nuevo para x = 7. ¡Otra solución! Entonces se detuvieron. Les pregunté si su máquina podía calcular soluciones negativas y me respondieron que sí podía pero que necesitaban más queso... 
    Comprueba los cálculos de Tic y Tac. ¿Son correctos los principios en que se basa la máquina?
    En la ecuación del ejemplo falta por averiguar una solución negativa ¿Cómo se podría calcular con la balanza de Tic y Tac?

SOLUCIÓN

    Profe, mire. El queso piramidal tiene un volumen de V = B·H:3 = 300cm²·10cm:3 = 1000cm³ y la piramidita (azul) de altura x tendrá un volumen de x³·1000:10³ = x³. El queso en forma de escuadra tiene un volumen de V = B·H:2 = 20cm²·10cm:2 = 100cm³ y la escuadrita (azul) de altura x tendrá un volumen de x²·100:10² = x². Y el queso en forma de prisma tiene un volumen de V = B·H = 1cm²·10cm = 10cm³ y el prismita (azul) de altura x tendrá un volumen de x·10:10 = x. No olvidemos que los pesos de los quesos son fuerzas proporcionales a sus volúmenes...
    La balanzas se equilibran cuando se igualan los momentos de fuerza (torques). Estos se calculan multiplicando los pesos por la distancia al punto de apoyo (fiel de la balanza) y por lo tanto son los monomios de la ecuación. El equilibrio representa por lo tanto la resolución de la ecuación (solución positiva). Para obtener la solución negativa se cambian los platillos de posición para resolver la ecuación – x³ – 8x² – 5x + 14 = 0 (cambiando x por –x). La solución negativa es x = –1.

    ¡Bravo por Nina Guindilla!
    ¿Qué otro queso habría que tener para resolver ecuaciones de cuarto grado?

RESOLUCIÓN

    A Yoyó Peluso le encantaba el queso más que a los ratones...

    Mire, profe. Para el término de 4º grado necesitaríamos un queso tal que al rebajar su altura x cm entonces su volumen menguara x⁴. Si el queso fuera un sólido de revolución de altura 10cm con eje de rotación vertical (que aquí es el eje x), la generatriz vendría dada por la siguiente función:  y = g(x) = 2·x^1,5:π^0,5 (ahora el eje y es el horizontal). Calculamos el área que va menguando...

    ¡Para ser un queso es bastante raro! ¡Parece la carpa de un circo!