754. Un problema con mucho arte. RESOLUCIÓN

    Pepe Chapuzas había pintado un cuadro abstracto para un concurso. Luego me confesó que era un problema de Mates pero como se le estropeó el dibujo (lo manchó de zumo) lo aprovechó reutilizándolo. Aquí podéis ver cómo le quedó la chapuza. El enunciado del problema aún estaba por detrás de la lámina.

    Los círculos son tangentes entre sí y sus radios miden 6, 7 y 8 centímetros respectivamente. Los vértices del triángulo son los centros de los círculos. Calcula el área del triángulo y los senos de sus tres ángulos.

    Pepe se había preparado los datos para que el área saliera un número natural y los senos fueran números racionales. Calcúlalo todo y envíame los resultados.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla adivinó que Pepe no iba a ganar el concurso...

    Profe, mire. El área de un triángulo de lados a, b, c y semiperímetro s=(a+b+c)/2 se puede calcular con la fórmula de Herón:

    Es fácil comprobar que s–a, s–b y s–c son los radios de los círculos (6cm, 7cm y 8cm), y como s=6+7+8=21cm, tenemos que s(s–a)(s–b)(s–c)=21·6·7·8=7056, y el área será la raíz cuadrada de 7056 que es 84 centímetros cuadrados.
    Por otro lado tenemos otra fórmula mucho más conocida para el área de un triángulo:

   Con lo que podemos calcular los senos a partir de los lados a=15cm, b=14cm y c=13cm.

senA=2·84:14:13=12/13

senB=2·84:15·13=56/65

senC=2·84:14:15=4/5

    Para rematar este problema "con mucho arte" calcula el área de la región morada del cuadro de Pepe.

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso comprobó que el triángulo era acutángulo... Solo tenía que restarle al área del triángulo las áreas de los tres sectores circulares... 

    Profe, mire. El área de un sector circular de radio R y ángulo A (en radianes) mide 

R²·A:2. 

    Por lo tanto la región morada medirá 

84 – 36·arcsen(12/13):2 – 49·arcsen(56/65):2 – 64·arcsen(4/5):2 = 7,72cm².