767. Lotería y superstición. RESOLUCIÓN

    Pepe Chapuzas me preguntó cuál era el criterio de divisibilidad del 19. Sospeché que me estaba poniendo a prueba así que yo, a mi vez, le pregunté cuál era su interés por saberlo. Entonces Pepe me relató la siguiente historia:

     Profe, mire. Mis padres siempre van a los mismos loteros para comprar los décimos de Navidad porque dicen que son muy "sinceros". Tienen este letrero: "vendemos lotería para coleccionar... porque tocar nunca toca..., y si toca... le devolvemos su dinero"... Mis padres son algo supersticiosos y este año quieren números que sean múltiplos de 19, a saber por qué... Fui con ellos, y con una calculadora por si las moscas, pero cuando llegamos, a la calculadora se le había agotado la batería... Nos vendieron los números 31606, 61845, 18392, 85163 y 16207. Les pregunté a los loteros cómo sabían que eran múltiplos de 19 si no habían hecho las divisiones y uno de ellos me contestó que había aplicado de cabeza el criterio de divisibilidad del 19... Al ver mi cara de extrañeza me fue escribiendo en un papelito la prueba para el 16207... Al 16207 le quitó la última cifra, esto es, tachó el 7, y le quedó 1620; luego duplicó el 7 tachado, es decir, 7·2=14; y este 14 se lo sumó al 1620, o sea, 1620+14=1634. Con este número hizo lo mismo, le tachó la última cifra y le sumó el doble de la cifra tachada, y repitió el proceso hasta que quedó un número menor que 20. Me dijo que si este número fuera 19 (como así pasó al final) el número inicial (aquí el 16207) sería un múltiplo de 19.

    Comprueba con este criterio que todos los números comprados son múltiplos de 19 excepto uno. ¿Cuál?
    ¿Hay algún criterio de divisibilidad similar para el 29, el 39 y el 49...?
    ¿Hay algún criterio de divisibilidad similar para el 7, el 13 y el 17...?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla hizo la comprobación para todos los números...

    Para el 31606, 3160+12=3172, 317+4=321, 32+2=34, 3+8=11<20. NO es múltiplo de 19.
    Para el 61845, 6184+10=6194, 619+8=627, 62+14=76, 7+12=19. SÍ es múltiplo de 19.
    Para el 18392, 1839+4=1843, 184+6=190, 19+0=19. SÍ es múltiplo de 19.
    Para el 85163, 8516+6=8422, 842+4=846, 84+12=96, 9+12=21. NO es múltiplo de 19.

   Profe, ¡dos de los números comprados no eran múltiplos de 19!

    Nina no contestó las otras preguntas. Se limitó a decirme que los criterios de divisibilidad se podían encontrar en la Wikipedia...
    Si tienes interés por conocerlos ya sabes dónde puedes buscar...

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso recordó que estos eran criterios de divisibilidad en base 10. Al cambiar la base de numeración los criterios cambiaban...

    Profe, un caso llamativo es el criterio de divisibilidad del 2. Verá. En base 7, el número 10 es impar y el número 11 es par; el número 20 es par y el número 21 es impar... El truco está contar las cifras impares. Así, en base 7, el número 6511235 es par porque hay 4 cifras impares, y el número 5555522 es impar porque hay 5 cifras impares.