765. Los números escalera. RESOLUCIÓN

    Profe, en Informática nos han hablado del sistema de numeración binaria, ya sabe: el 0 y el 1, los bits... Nos dijeron que era un sistema posicional porque el valor del 1 dependía de su posición. El 1 podía tomar los valores de la llamada progresión binaria: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64.... Pero cuando llegamos a los prefijos para los múltiplos, o sea, a los megas, los gigas, los teras..., resulta que no son potencias de 10 sino de 2. ¡Un kilogramo son 1000 (=10³) gramos pero un kilobit son 1024 (=2¹⁰) bits! ¿Qué chapuza es esta de utilizar los mismos prefijos para distintas cantidades?

    A Pepe Chapuzas le extrañó, y con toda razón, esta imprecisión. Le contesté que cuando quisieron poner orden en este asunto era demasiado tarde, pues se crearon unos prefijos propios para el sistema binario (kibi, mebi, gibi, tebi, pebi...) que no cuajaron porque los prefijos decimales (kilo, mega, giga, tera, peta...) eran ya demasiado populares.
    En esto le propuse a Pepe que me demostrara que los términos de la progresión binaria 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64... eran los únicos números naturales que no se podían obtener como suma de números naturales consecutivos, como por ejemplo el 15 = 4+5+6 = 7+8... Pepe me enseñó un dibujo.

    Profe, mire. El 15 es un número escalera:

     Al día siguiente Pepe me enseñó más dibujos que representaban una cadena de demostraciones:

    Profe, mire. He demostrado primero que si en la suma de números naturales consecutivos hay una cantidad impar de sumandos entonces la suma es un múltiplo de un impar distinto de 1, y si hay una cantidad par de sumandos entonces también la suma es un múltiplo de un impar distinto de 1, con lo que demuestro que los términos de la sucesión binaria no son números escalera al no tener divisores impares distintos de 1. Mire los dibujos:

    Después demostré que si un número natural N tiene un divisor impar K distinto de 1 y si K² < 2N entonces N es suma de K números naturales consecutivos, pero si K² > 2N entonces N es suma de 2N:K números naturales consecutivos, por lo tanto los números de la progresión binaria son los únicos naturales que no son números escalera.

    Intenta rehacer las demostraciones de Pepe Chapuzas siguiendo sus indicaciones y con ayuda de sus dibujos.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla me confesó que tuvo que subir y bajar muchas escaleras para entender al chapuzas de Pepe...

    Profe, mire. Para la primera parte hay que aclarar algo: la sucesión binaria está formada por las potencias de 2 (con exponente entero no negativo). Todos los divisores de una potencia de 2 son también potencias de 2 ya que una potencia de 2 solo se puede dividir por otra potencia de 2. Y como la única potencia impar de 2 es 1, resulta que las potencias de 2 solo tienen un divisor impar: el 1. Como 2 es un número primo (y es el único primo par), y como las factorizaciones de los números son únicas (y exclusivas), si un número no es una potencia de 2 tendrá algún factor primo distinto de 2, es decir, tendrá al menos un divisor impar mayor que 1.

    Nina, a pesar de hacerse un pequeño gran lío, iba por buen camino... para abordar los dibujitos de Pepe...

    Lo segundo que hay que aclarar es que los números escalera son sumas de términos de progresiones aritméticas (con diferencia 1)... Si A y B son dos naturales (A < B), el número escalera A+...+B tendrá B–A+1 sumandos... Y, aplicando la fórmula de la suma de términos de una progresión aritmética, valdrá A+...+B = (A+B)(B–A+1):2... Es evidente que de los dos números, (B–A+1) y (A+B), uno será par y el otro impar mayor que 1, de lo que se deduce que todos los números escalera tienen al menos un divisor impar mayor que 1... Como las potencias de 2 no tienen divisores impares mayores que 1, una potencia de 2 no puede ser un número escalera... ¡Ya voy entendiendo los dibujitos de Pepe!

    Nina había hecho la primera parte y ahora había cogido carrerilla... ¿Serán las potencias de 2 los únicos números que no sean números escalera?

    Ya sabemos que si un número N no es una potencia de 2, tiene un divisor impar K mayor que 1. Si K es impar entonces K² será también impar, y será, o bien K² < 2N, o bien K² > 2N. Distinguimos los dos casos...
    Si K² < 2N entonces N:K > K:2 y el número escalera A+...+B con A = (N:K–K:2+1:2) y B = (N:K+K:2–1:2) existirá. El número de sumandos será B–A+1 = N:K+K:2–1:2–N:K+K:2–1:2+1 = K, y el número escalera valdrá (A+B)(B–A+1):2 = (N:K–K:2+1:2+N:K+K:2–1:2)·K:2 = N. Por lo tanto N sería un número escalera.
    Si K² > 2N entonces K:2 > N:K y el número escalera A+...+B con A = (K:2–N:K+1:2) y B = (K:2+N:K–1:2) existirá. El número de sumandos será B–A+1 = K:2+N:K–1:2–K:2+N:K–1:2+1 = 2N:K, y el número escalera valdrá (A+B)(B–A+1):2 = (K:2–N:K+1:2+K:2+N:K–1:2)·2N:K:2 = N. Por lo tanto N también sería un número escalera.

    Conclusión: Todos los números naturales son números escalera excepto las potencias de 2.

    Esto requiere su tiempo para poder digerirse...

    Escribe el número 6464 como un número escalera, es decir, como suma de naturales consecutivos.

RESOLUCIÓN

    A ver si lo he entendido bien profe... Como 6464 no es una potencia de 2, tiene algún divisor impar mayor que 1.

    Como 101²=10201 < 13938 = 2·6464, tomo A = 6464:101–101:2+1:2 = 14 y B = 6464:101+101:2–1:2 = 114. Calculo ahora el número escalera 14+15+16+17+...+114 = 6464.

    Peldaño a peldaño, Yoyó Peluso sube la escalera...

    Profe, ¡qué curioso que haya tantas formas de descomponer un número natural en escalera como divisores impares mayores que 1!

    3 = 1+2
    5 = 2+3
    6 = 1+2+3
    7 = 3+4
    9 = 2+3+4 = 4+5
    10 = 1+2+3+4
    11 = 5+6
    12 = 3+4+5
    13 = 6+7
    14 = 2+3+4+5
    15 = 1+2+3+4+5 = 4+5+6 = 7+8
    17 = 8+9
    18 = 3+4+5+6 = 5+6+7
    19 = 9+10
    20 = 2+3+4+5+6
    21 = 1+2+3+4+5+6 = 6+7+8 = 10+11
    22 = 4+5+6+7
    23 = 11+12
    24 = 7+8+9
    25 = 3+4+5+6+7 = 12+13
    26 = 5+6+7+8
    27 = 2+3+4+5+6+7 = 8+9+10 = 13+14

    Etc..