738. Misterios de la derivada. RESOLUCIÓN

    Profe, cuando hablamos de "esfera" unas veces nos referimos a la esfera maciza y otras a la superficie esférica. Para el equivalente en dos dimensiones tenemos dos palabras: círculo y circunferencia. Creo que los matemáticos tienen muy poca imaginación... o son unos chapuzas. Por cierto, si derivamos el área del círculo respecto del radio nos sale la longitud de la circunferencia, y si derivamos el volumen de la esfera nos sale su área. ¿Es una casualidad? Yo no lo creo...

    Le contesté a Pepe Chapuzas que no era una casualidad, y que cuando supiera algo más de las derivadas lo entendería perfectamente.
    Busca en Internet una explicación y le desvelas a Pepe este misterio.

SOLUCIÓN

    Para Nina Guindilla la derivada es un gran invento pero que está envuelto en un halo de misterio... Velocidades, aceleraciones, optimización, puntos de inflexión... ¡sirve para tantas cosas! Lo que sí tiene Nina es una buena idea intuitiva de lo que es una derivada...

    Profe, mire. Para mí la derivada es una forma de comparar cómo varían dos magnitudes que están relacionadas. En los ejemplos de Pepe Chapuzas... ¿cómo variará el área del círculo o el volumen de la esfera al variar el radio...? Si el radio variase entre r–h  y r+h, entonces el área del círculo variaría π(r+h)² – π(r–h)² = π(r²+h²+2rh–r²–h²+2rh) = 4πrh. Al comparar ambas variaciones tenemos (4πrh):(2h) = 2πr, lo que quiere decir que, al variar el radio, el área del círculo varía en toda la longitud de su circunferencia (corona circular), lo cual resulta obvio. Otro tanto se puede decir del volumen y la superficie de la esfera...

    Nina ha dado en el clavo... Haz tú lo mismo con la esfera...

RESOLUCIÓN

    Profe, mire. Si el radio de la esfera variase entre r–h y r+h, entonces el volumen de la esfera variaría 4/3·π(r+h)³ – 4/3·π(r–h)³ = 4/3·π(r³+3r²h+3rh²+h³–r³+3r²h–3rh²+h³) = 4/3·π(6r²h+2h³) = 8πr²h + 8/3·πh³. Dividiendo entre 2h nos queda 4πr² + 4/3·πh², donde el segundo sumando tiende a 0 cuando h tiende a 0...

    Yoyó Peluso ha comprobado que en el caso de la esfera, la solución no sale tan "redonda"...