domingo, 31 de enero de 2016

773. Un polinomio terrible. RESOLUCIÓN

    Pepe Chapuzas ha propuesto desarrollar el siguiente producto de binomios. ¡Pero que nadie se asuste! La solución es mucho más fácil de lo que parece a simple vista.
SOLUCIÓN
 
    Nina Guindilla no se asusta tan fácilmente... ¡Y menos por un polinomio!
 
    Profe, mire. Viendo como van las letras, el antepenúltimo binomio es x–x=0, y como es un factor nulo, el producto final vale 0 evidentemente... Por cierto, hay una cosa que no me cuadra... Un número distinto de 0 es un polinomio que solo tiene término independiente: sería un polinomio de grado 0. La regla del grado de un producto (igual a la suma de los grados de los factores) se cumple: si K es un número distinto de 0 y si gr(P(x)) = p, entonces
gr(K·P(x)) = gr(K)+gr(P(x)) = 0+p = p.
    Pero si K = 0, entonces 
gr(0) = gr(0·P(x)) = gr(0)+gr(P(x)) = gr(0)+p...
    Por lo que a la fuerza sería p = 0, lo cual es absurdo...
 
    Nina no admite reglas con excepciones. Para ella eso de "la excepción que confirma la regla" tendría que ser sustituido por "la excepción que anula la regla" o "el contraejemplo"...
    ¿Cómo podría arreglarse esto para no invalidar la regla? ¿Cuál es el grado de 0?
 
RESOLUCIÓN
 
    A Yoyó Peluso, el grado de 0 le recordaba a las indeterminaciones de los límites...
 
    Mire, profe. Si gr(0) = –, se cumpliría la regla ya que  –+p = –. No valdría  porque el grado de una suma no puede ser mayor que el grado de cada sumando (y el polinomio 0 es suma de dos polinomio opuestos), sin embargo, ∞ es menor que cualquier otro grado... 

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