domingo, 31 de enero de 2016

772. El club de los excéntricos. RESOLUCIÓN

    Llegaron unos cuantos alumnos, incluido Pepe Chapuzas, con una chapa en la solapa... Preguntados sobre el novedoso ornato, Pepe me aclaró que era el emblema del club de los excéntricos...
 
    Profe, mire. Para entrar en el club solo hay que resolver tres cuestiones relacionadas con el emblema...
    Como ve, se trata de dos elipses semejantes y por ello tienen la misma excentricidad. El eje mayor de la elipse menor es el eje menor de la elipse mayor... Y las tres regiones (roja, amarilla y verde) tienen la misma área...
    Primera cuestión: ¿Cuál es la excentricidad de las elipses?

    Segunda cuestión: Calcula los ángulos del rombo cuyos vértices son los focos de las elipses.
    Tercera cuestión: Demuestra que toda cuerda horizontal de la elipse mayor es partida en tres segmentos iguales por la elipse menor.
 
    ¿Quieres pertenecer al club? ¡A ver si lo consigues...!
 
SOLUCIÓN
 
    ¡Ya lo creo que Nina Guindilla consiguió entrar en el club de los excéntricos...!
 
    Profe, mire. Si las 3 regiones del emblema tienen la misma área entonces el área de la elipse mayor es el triple del área de la elipse menor. Si las elipses son semejantes, la razón de semejanza será 3, por lo que si A y B son los ejes mayor y menor de la elipse mayor y B y C son los ejes mayor y menor de la elipse menor, entonces A/B = B/C = 3. La  excentricidad de las elipses será por tanto (1B2/A2) = (1C2/B2) = (11/3) = (2/3).
    Las diagonales mayor y menor del rombo son las distancias focales de las elipses mayor y menor respectivamente y su razón será también 3. Esta es la proporción que se da precisamente en el diamante (rombo formado por 2 triángulos equiláteros), por lo que los ángulos son de 60º y 120º.
    Si a = A/2, b = B/2 y c = C/2, las ecuaciones reducidas de las elipses mayor y menor serán respectivamente (x2/a2 + y2/b2 = 1) y (x2/c2 + y2/b2 = 1). Si para una ordenada dada las cuerdas horizontales de las elipses mayor y menor son E y F, y si e = E/2 y f = F/2, tendremos que e2/a2 = f2/c2 (= 1 y2/b2), y también, E2/A2 = F2/C2, es decir, E/F = A/C = A/B · B/C = 3 = 3. La cuerda mayor tendrá una longitud triple de la de la cuerda menor y teniendo en cuenta la simetría del emblema, los 3 segmentos serán iguales. 
 
    Comprueba que en un diamante la razón de sus diagonales es 3. 
 
RESOLUCIÓN
 
    La comprobación que quedaba por hacer era muy sencilla (para Yoyó Peluso).

    Mire, profe. La razón de las diagonales de un diamante es la razón de los catetos de un cartabón, o sea, tg60º = 3.

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