viernes, 22 de enero de 2016

750. Fracciones casi egipcias. RESOLUCIÓN

    Una dificultad que tenemos los profes al mandar deberes es que Internet, mejor dicho Google, ofrece a menudo la solución a golpe de "clic". A veces pido a mis alumnos que propongan ejercicios no "googleables". Pepe Chapuzas, que siempre intuye el quid de la cuestión, es un hacha. Le basta con modificar un ejercicio clásico como el de las fracciones egipcias para que la solución no aparezca inmediatamente en la pantalla del ordenador:

    Una fracción egipcia es la descomposición de una fracción en suma de varias fracciones unitarias distintas. (Una fracción unitaria tiene 1 en el numerador). Por ejemplo: 3/10 = 1/5 + 1/10 = 1/4 + 1/20. Es fácil localizar fracciones egipcias en Internet, así que propongo llamar "fracciones casi egipcias" a las descomposiciones que incluyan la resta. Por ejemplo: 3/10 = 1/2 – 1/5 = 1/3 – 1/30.

    Ejercicio: Busca fracciones egipcias y casi egipcias equivalentes a las siguientes fracciones: 
SOLUCIÓN
 
    Nina Guindilla obtuvo las fracciones egipcias y casi egipcias sin necesidad de buscarlas en Internet:
 
    8/11 = 1/2 + 1/8 + 1/11 + 1/88 = 1/2 + 1/6 + 1/14 + 1/231 – 1/66
    2/9 = 1/5 + 1/45 = 1/2 + 1/18 – 1/3
    3/13 = 1/7 + 1/13 + 1/91 = 1/4 + 1/26 – 1/18 – 1/468
    5/12 = 1/3 + 1/12 = 1/2 – 1/12 
    4/7 = 1/2 + 1/14 = 1/3 + 1/4 + 1/42 – 1/28
 
    Estas descomposiciones no son únicas para cada fracción. Busca otras soluciones distintas para las cinco fracciones...
 
RESOLUCIÓN
 
    Yoyó Peluso no siempre hace lo que le piden...
 
    Mire, profe. Este ejercicio me parecía tan aburrido que empecé a juguetear con las fracciones casi egipcias de otra manera... Verá. Intenté descomponer el número 1 y esto es lo que pasó:
1 = 1/2 + 1/2 – 1/3 + 1/3 – 1/4 + 1/4 – 1/5 + 1/5 – 1/6 + ...  =
= 1/2 + (1/2 – 1/3) + (1/3 – 1/4) + (1/4 – 1/5) + (1/5 – 1/6) + ... =
= 1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + ...
    ¿Se da cuenta? Si multiplicamos por 2 tenemos:
2 = 1 + 1/3 + 1/6 + 1/10 + 1/15 + ...
    Es decir: la suma de los inversos de los infinitos números triangulares es 2. ¡Increíble!
 
    Si te apetece puedes aportar el rigor del que Yoyó adolece... 

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