martes, 26 de enero de 2016

759. Las PA y las PG van en tándem. RESOLUCIÓN

    Profe mire, los números de la izquierda están en PG (progresión geométrica). Y sus logaritmos (decimales), que son los números de la derecha, están en PA (progresión aritmética). He descubierto que los logaritmos de las PG son PA. Y si tomo logaritmos en las fórmulas de las PG me salen las fórmulas de las PA... ¡Ya no tengo que aprenderme tantas fórmulas! Las PG y las PA van en tándem...

    Pepe Chapuzas "casi" tenía razón. Tuve que puntualizar su intervención. Le indiqué, para empezar, que para obtener una PA la PG tenía que ser positiva, si no, no se podría tomar logaritmos; y que si tomaba logaritmos en la fórmula de la suma de términos de una PG no salía ninguna fórmula de las PA...

    Demuestra que el logaritmo de una PG positiva es una PA.
    Obtén la fórmula del término general de una PA tomando logaritmos en la fórmula del término general de una PG.
    Obtén la fórmula de la suma de términos de una PA tomando logaritmos en la fórmula del producto de términos de una PG.
    Si te sale me lo explicas...

SOLUCIÓN


    Profe, mire. En una PG tenemos an+1 = a· r, y si tomo logaritmos, log an+1 = log a+ log r, que es una PA:  bn+1 = b+ d.

    El término general de una PG es a= a· rn–1, y por tanto, log a= log a+ (n–1) · log r, que es el término general de una PA: b= b+ (n–1)·d.
    El producto de términos consecutivos de una PG es a· a2 · ... · an = (a· an)n:2, y por tanto tenemos, log a+ log a2 + ... + log an = (log a+ log an) · n : 2, que es la fórmula de la suma de términos consecutivos de una PA: b+ b2 + ... + bn = (bbn) · n : 2.

    Nina Guindilla se sabe muy bien las fórmulas de las progresiones y las propiedades de los logaritmos...

    Haz lo mismo que Nina pero al revés... A partir de las fórmulas de las PA, obtén las fórmulas de las PG tomando antilogaritmos.

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso dedujo la razón de una PG a partir de la diferencia de una PA:

    Mire, profe. La diferencia de una PA es d = (am–an):(m–n). Si tomamos antilogaritmos tenemos antilog d = antilog ((am–an):(m–n)) = (antilog am : antilog an)1:(m–n), que es la fórmula de la razón de una PG: r = (b: bn)1:(m–n).

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