706. ¿Una chapuza musical? RESOLUCIÓN

    Pepe Chapuzas investiga las Matemáticas que hay detrás de las cosas y a veces se lleva sorpresas...

    Profe, ayer en Música nos hablaron de los armónicos. Mire, si una cuerda vibra, por ejemplo en DO (primer armónico), la mitad de la cuerda vibra con frecuencia doble (segundo armónico), y resulta que es el siguiente DO. Y como entre los dos DOS hay una octava entera, la distancia es de 12 semitonos.

    Yo ya me estaba perdiendo pero él seguía...

    Y un tercio de la cuerda vibra con frecuencia triple (tercer armónico), y resulta que es el segundo SOL. O sea que ahora el intervalo es de 19 semitonos.

    Al verme confuso y aturdido me hizo un dibujo para que comprendiera:

    Conté los semitonos,  12 + 7 = 19 , y dejé que continuara...

    Como las frecuencias de las notas (de la escala cromática) están en progresión geométrica, me puse a calcular la razón de la progresión...

    Si lo hago con el primer armónico, tenemos frecuencia doble y 12 semitonos, por lo tanto:

    Si lo hago con el segundo armónico, tenemos frecuencia triple y 19 semitonos, así que:

    Como ve, algo no cuadra. ¿Qué "chapuza" es esta?

    ¿Se habrán afinado los instrumentos musicales siempre de la misma manera? Investiga en Internet y se lo aclaras a Pepe.

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla ha investigado el asunto y quiere aclarar algo.

    Profe, mire. Cuando se tocan dos sonidos a la vez, unas veces suena bien y otras no. Todo depende de sus frecuencias... Suena bien si la razón de sus frecuencias es una fracción de números pequeños. Por ejemplo entre el primer armónico y el segundo da 2/1 (una octava), y entre el segundo y el tercero 3/2 (una quinta perfecta). El problema está en que es matemáticamente imposible que los números 1, 2 y 3 sean términos de una misma progresión geométrica, por lo que uno de los armónicos no podrá afinarse perfectamente. Actualmente, de forma estándar, se afina la octava y la quinta queda ligeramente desafinada (es el conocido como temperamento). Antiguamente se afinaban todas las octavas y el mayor número posible de quintas (las quintas desafinadas se denominaban quintas del lobo por lo mal que sonaban).

    Demuestra que los números 1, 2 y 3 no pueden ser términos de una misma progresión geométrica.
    La quinta perfecta da una razón de frecuencias de 3/2... ¿Qué razón da una quinta temperada? ¿Y una quinta del lobo?
    En alguna ocasión se afinan las quintas y las octavas quedan ligeramente desafinadas... ¿Cuál sería entonces la razón de la progresión de las frecuencias de la escala cromática?

SOLUCIÓN

    Yoyó Peluso no tenía oído para la Música... pero sí olfato para las Matemáticas. Pero como la Música y las Matemáticas nacieron y se criaron juntas...

    Mire, profe. Si 1, 2 y 3 fueran términos de una progresión geométrica de razón R (>1), entonces 2/1 = Rⁿ y 3/1 = R^m para dos naturales n y m. Por lo tanto 2^m = 3ⁿ, lo cual es absurdo porque un número par no puede ser igual a un número impar...
    En una quinta temperada la razón de frecuencias es 2^7/12 = 1,498307...  ¡Casi perfecta...!
    En las afinaciones antiguas, en una quinta perfecta había tres tonos y un semitono menor, o sea, 9/8 · 9/8 · 9/8 · 256/243 = 1,5 pero en la quinta del lobo había dos tonos y tres semitonos menores, o sea, 9/8 · 9/8 · 256/243 · 256/243 · 256/243 = 1.479811... ¡Realmente desafinada!
    Si se afina por quintas, la razón del semitono temperado sería R = 1,5^1/7 = 1,059634...