701. Divide y vencerás. RESOLUCIÓN

    Pepe Chapuzas era un alumno con la "rara" habilidad de hacer a veces difícil lo fácil. Aquí tenéis un ejemplo:

    En un examen de contenidos mínimos le propuse la siguiente división:


    Y esta fue la chapuza de respuesta:

    Le pedí explicaciones de lo que había hecho y esta fue su contestación:

    Profe, me equivoqué en la primera cifra, me quedé corto, pero seguí adelante:
    Tengo 15 que entre 3 tocan a 4, ahora 4 por 3 dan 12, y del 12 al 15 van 3.
    Bajo un 0 para sacar decimales, tengo 30 que entre 3 tocan a 9 porque solo puedo poner una cifra, ahora 9 por 3 dan 27, y del 27 al 30 van 3.
    Bajo otro 0, tengo otra vez 30 que entre 3 tocan otra vez a 9, y como ve me salió un número periódico...
    Pero bueno, "casi" acierto, ¿verdad? ¿Qué nota me va a poner?

    Lo único que le dije es que firmara el examen porque se le había olvidado.

    Si la división valía 1 punto del examen, ¿tú qué nota le pondrías? Razona la respuesta.

SOLUCIÓN

    Cuando Nina Guindilla vio lo que había hecho Pepe se rascó la cabeza... Me pidió que no fuera demasiado severo con él porque al fin y al cabo el resultado era "casi" correcto. Me entregó el siguiente escrito:

    Profe, la regla de la división que obliga que los restos tienen que ser menores que el divisor es demasiado "exigente"... Si relajamos la condición sustituyendo "menores" por "menores o iguales" se pueden obtener resultados "casi" correctos... Yo le pondría a Pepe "casi" la nota máxima: un 0,99999...

    Hice caso a Nina...

    Expón diversas maneras para convencer a Pepe y a Nina de que los "casis" sobran ya que 0,99999... = 1 y 4,99999... = 5. (Primero tienes que estar convencido tú de que son números iguales.)

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso quiso convencer a todos los incrédulos de la siguiente manera:

    Profe, mire. Si calculo la fracción generatriz de 4,99999... = (49–4):9 = 45/9 = 5. ¡Son iguales!

    No quedó ahí la cosa... Todo esto estaba relacionado con la paradoja de la dicotomía de Zenón... Zenón tiró una piedra a un árbol que distaba un decámetro. Antes de dar al árbol, la piedra tiene que recorrer la mitad de la distancia (medio decámetro) y cuando lo haya hecho tiene que recorrer la mitad de lo que le queda (un cuarto de decámetro) y cuando lo haya hecho tiene que recorrer la mitad de lo que le queda (un octavo de decámetro) y así sucesivamente... Como este proceso es infinito, la piedra no llegaría nunca al árbol... Entonces intervino Yoyó:

    ¡Pero la piedra sí llega al árbol! O sea, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...  = 1. Profe, si escribo esa suma infinita en sistema binario (bits), tengo 1/10 + 1/100 + 1/1000 + 1/10000 + ... = 0,1 + 0,01 + 0,001 + 0,0001 + ... = 0,11111... = 1. Esto es el equivalente binario de la cuestión inicial...

    Si Zenón levantara la cabeza...