730. Reto navideño. RESOLUCIÓN

    Pepe Chapuzas ha propuesto un reto para Navidad. Pero por ser Navidad dice que es voluntario:

    Descompón en factores primos los números de este árbol de Navidad. El primero, claro, no se puede, y el último lo pongo aquí porque es muy difícil: 999999999 = 3 x 3 x 3 x 3 x 37 x 333667. Para los demás se puede consultar la lista de números primos de la Wikipedia.

    Ánimo, y que no te den las uvas. Y que aunque sea voluntario, el que lo haga tendrá regalito de Navidad...

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla se llevó el regalito de Navidad. Este es el árbol de Nina... 

    A su vez, Nina tiene otro reto navideño...

    Profe, mire. Con 5 segmentos se puede dibujar una estrella de Navidad... Y he pegado 10 circulitos en las intersecciones. He intentado colocar las diez cifras (del 0 al 9) en los circulitos de de modo que las 4 cifras de cada uno de los 5 segmentos sumen siempre lo mismo... ¡Pero no lo he conseguido!

 

    Coloca las cifras en su sitio o demuestra que es imposible...

 

RESOLUCIÓN

 

    Mire, profe. Si colocamos las diez cifras en los circulitos, como la suma de todas ellas es 45, y cada circulito está en 2 segmentos, y hay 5 segmentos..., entonces la constante mágica, esto es, la suma de los números de cada segmento será 45·2:5 = 18... Veamos... Hay dieciocho combinaciones de cuatro cifras que suman 18. De ellas 10 son simétricas respecto del valor 4,5:

0189

0279
0369
0459
1278

1368

1458

2367

2457

3456

    Las otras 8 combinaciones son asimétricas pero forman parejas especulares (o reflexivas) respecto del valor 4,5:
 

0378   1269

0468   1359

0567   2349
1467   2358

    En el siguiente dibujo se muestra una combinación simétrica y una pareja especular de combinaciones asimétricas...

     Si hubiera una combinación simétrica en un segmento de la estrella mágica, como con cada uno de los otros cuatro segmentos comparte solo una cifra, estos cuatro segmentos tendrían combinaciones asimétricas. No puede haber en la estrella dos combinaciones asimétricas emparejadas especularmente porque no comparten cifras, con lo que en la estrella habría efectivamente una combinación simétrica y cuatro asimétricas, una de cada pareja especular. Pero todas las combinaciones simétricas comparten dos cifras con las dos combinaciones asimétricas de al menos una pareja especular como se muestra a continuación... por lo tanto no es posible una estrella mágica de 5 puntas...

Asimétricas                  Simétricas

0378   1269            0279   0369   1278

0468   1359            0189   0459   1368

0567   2349                 2457   3456

1467   2358                 1458   2367

    Espero que Yoyó Peluso no haya hecho desaparecer la magia de la Navidad...