704. Una trompeta para pintar. RESOLUCIÓN

    A Pepe Chapuzas le fascina el infinito. Le encanta jugar con él en arriesgadas piruetas. Un día se tropezó con una "paradoja":

    Profe, he calculado el área entre media rama de hipérbola y su asíntota (era el ejercicio 44 de la unidad) y me sale infinita. Si quisiera pintar esta superficie necesitaria infinita pintura, y saldría infinitamente caro, ¿verdad?



¡OJO! Las unidades están en decímetros

    Pero si giro este trozo de hipérbola alrededor de la asíntota tengo una especie de trompeta. Mire cuál sería su capacidad (problema 45):

    ¡Menos de 3,1416 litros! ¡En casa tengo una lata de 5 litros! ¿Podría pintar la superficie del principio si la meto en mi trompeta llena de pintura? ¡Sería superbarato!

    ¿Quién puede contestar a Pepe? ¿Quién descubrió la "trompeta para pintar" mucho antes que Pepe?

SOLUCIÓN

    Nina Guindilla no se podía imaginar una trompeta ilimitada... Si pudiera imaginársela la podría dibujar en su cuaderno... pero para esta trompeta... ¡necesitaría un papel ilimitado e ilimitado tiempo para poder dibujarla... además de una cantidad ilimitada de lapiceros! Además había más pegas...

   Profe, mire. La hipérbola se aproxima a su asíntota cada vez más, de modo que tarde o temprano las moléculas de pintura no cabrían por la parte estrecha de la trompeta. Así que solo se puede llenar de pintura una parte acotada de la trompeta... Por otro lado para pintar el área entre la hipérbola y su asíntota necesitaríamos una capa de pintura de un grosor de al menos una molécula de pintura, por lo que el área totalmente pintada (con infinita pintura) no cabría por la parte estrecha de la trompeta que es más delgada que una molécula de pintura... La paradoja no es tal. Lo que ocurre es que los límites son a veces incompatibles con el mundo real. ¡No podemos hacer que la materia tienda a 0 (no podemos adelgazar la pintura cuanto queramos)...! Por cierto, la trompeta para pintar la descubrió Torricelli.

    La lógica de Nina no tenía nada que reprochar... ¿O sí...? Puede haber áreas infinitas dentro de volúmenes finitos como puso de manifiesto Torricelli con su trompeta. No podemos olvidar que el área es una magnitud bidimensional y el volumen es una magnitud tridimensional...

    Si tienes alguna objeción a la solución de Nina no dudes en comentarla.
    Reescribe los cálculos del área y del volumen que hizo de Pepe con la notación habitual de los límites (con la abreviatura "lim").

RESOLUCIÓN

    Yoyó Peluso controlaba bien las integrales impropias... Utilizar límites era, por decirlo así, ser un poquito menos infiel al rigor matemático... (que no es siempre  ser más fiel a la realidad).

    Profe, no entiendo tanto revuelo con la trompeta de Torricelli... Hay una "paradoja" similar pero más sencilla: El área de la superficie entre la función f(x) = 1/x²  y el eje de abscisas para x>1 mide 1 y sin embargo su perímetro es infinito...