138. Funciones periódicas

    Había mandado estudiar la periodicidad de un par de funciones en la tarea para casa y Pepe Chapuzas salió a la pizarra para corregir el ejercicio. Como quedaba poco tiempo para que acabara la clase Pepe se dio mucha prisa. Se dio tanta prisa que dio el resultado (los períodos) sin ningún paso intermedio. Los compañeros empezaron a preguntar cómo lo había hecho pero sonó la campana...

    Echa un vistazo a la solución de Pepe e intenta explicarla.

137. Un bicho en la pizarra

    Pepe Chapuzas ha descubierto un bicho diminuto en la pizarra. Aprovechando que la pizarra es rectangular y suponiendo que el bicho fuera un punto propuse la demostración de una antigua fórmula. Con una tiza dibujé los segmentos (a, b, c y d) que unían el bicho-punto con las cuatro esquinas de la pizarra. Y luego escribí la fórmula que había que demostrar. Pepe Chapuzas, que presume de ser el más rápido a este lado del Misisipi, salió a la pizarra y con ayuda de algún segmento más dio fácilmente con la demostración. Por cierto, el bicho salió volando...

    Piénsalo. No te desanimes si no te sale enseguida. Y si te sale me lo cuentas...

136. Diez en uno

    Profe, mire. He conseguido sumar dos fracciones de números naturales (de 2 cifras y de tres cifras) y el resultado es 1. Lo mejor es que he utilizado las diez cifras (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) de la siguiente manera: (Cada letra representa una cifra distinta...)

    Busca alguna solución colocando cada cifra en su lugar y, si la encuentras, ¡dínosla! (Como pista os diré que en la solución de Pepe Chapuzas cada fracción es equivalente a 1/2).

135. Una ecuación trigonométrica

    Esta ecuación trigonométrica estaba en la última página del cuaderno de Pepe Chapuzas. Me dijo que no la había resuelto porque no tenía espacio. ¿Tienes espacio tú para resolverla?

134. Con triángulos y cuadrados

    Profe, mire. Estaba jugando con los triángulos equiláteros y los cuadrados para hacer mosaicos, ya sabe, los que tienen los lados de 5cm, y empecé a combinarlos para hacer polígonos. Entonces me pregunté cuántos polígonos diferentes habría suponiendo que...
   a) Tienen que ser convexos.
   b) Sus lados no pueden medir más de 5cm.
   c) Deben estar formados por al menos un triángulo y un cuadrado.
   Por lo que habría que descartar polígonos como los siguientes:

    El primero porque no es convexo, el segundo porque tiene lados de 10cm, y el tercero porque no tiene cuadrados. Yo he encontrado los siguientes: un pentágono, un hexágono, un heptágono, un octágono, un eneágono, un decágono y un dodecágono. ¿Habrá alguno más?

    Os propongo que investiguéis la cuestión. Respondedme con vuestras conclusiones...

133. Las troqueladoras

    Dos troqueladoras de chapa cortan cada una 3 círculos iguales de 10cm de radio. La primera a partir de una lámina triangular y la segunda a partir de una lámina hexagonal tal como se muestra en la figura. ¿Cuánta chapa desperdicia cada una de las troqueladoras?

    Este es el último reto de Pepe Chapuzas. ¡A ver si lo resuelves!

132. Infinita...mente

    A los chicos les llama la atención las "operaciones" con el infinito en los límites. En la última revisión de cuadernos vi que Pepe Chapuzas se las aprendió mediante "razonamientos" como los siguientes...

    Ocho entre infinito es cero porque si tengo que repartir ocho caramelos entre infinitos chicos no tocan a nada. 
    Ocho entre cero por la derecha es infinito porque si tengo que repartir ocho litros de perfume en frasquitos infinitésimos necesito una infinidad de ellos.

    "Razona" como Pepe las "operaciones" siguientes:  

131. La sucesión de Fibonacci

    Como ejemplo de sucesiones recurrentes siempre recurro a la sucesión de Fibonacci, por la gran cantidad de propiedades y aplicaciones que posee. Les dejo a mis alumnos que investiguen y jueguen con ella y que "descubran" algún resultado curioso. Pepe Chapuzas ha "descubierto" lo siguiente...

    Profe mire. Si tomamos cuatro términos consecutivos, el producto de los extremos menos el producto de los medios es 1 o –1.

    ¿Ocurrirá siempre así? Si así lo crees tienes que demostrarlo...

130. Los trits

    Profe, mire. Los ordenadores trabajan con el sistema binario, solo con el 0 y el 1. ¿Se podrían hacer ordenadores que funcionaran con otro sistema?

    Le comenté a Pepe Chapuzas que había prototipos experimentales que utilizaban el sistema ternario. Que si los dígitos del sistema binario eran los bits (el 0 y el 1) en el sistema ternario eran los trits (el 0, el 1 y el 2). Que si con 2 bits se podían determinar 4 posiciones, con 2 trits se podían determinar 9, como observé en el siguiente dibujo donde el primer trit indicaba la posición vertical (0=baja, 1=media, 2=alta) y el segundo la posición horizontal (0=izquierda, 1=centrada, 2=derecha). Pepe volvió a formular una pregunta interesante. La respuesta fue afirmativa y en forma de ejercicio.

    Entonces, profe, ¿con 3 trits se podrían determinar los cubitos de un cubo de Rubik, y con 4 trits se podrían determinar los cuadraditos de un sudoku?

    Define un sistema para determinar los cubitos de un cubo de Rubik con 3 trits, y otro para los cuadraditos de un sudoku con 4 trits. Con tus propios sistemas determina los cubitos y cuadraditos coloreados:

129. Estrellitas de 5 puntas

    Estábamos decorando el aula con estrellitas de 5 puntas porque se acercaba la Navidad. Las estrellitas eran irregulares por no decir chapuceras. Pepe Chapuzas hizo la siguiente observación...

    Profe, mire. Creo que la suma de los ángulos de las 5 puntas es igual para todas las estrellas...

    Comprueba que la observación de Pepe es correcta. ¿Cuánto suman los 5 ángulos?

128. Alfa, beta, gamma y delta

    En ningún cuaderno de Matemáticas de Pepe Chapuzas falta un alfabeto griego. Pepe lo utiliza con frecuencia como en el siguiente problema (que en realidad son tres) que se inventó, donde las letras griegas representan ángulos:

     Los 4 ángulos interiores,  a ,  b ,  g  y  d , de un cuadrilátero están en progresión geométrica y, expresados en grados, son números naturales. Calcula  a ,  b  y  d  sabiendo que  g  vale... 

    a) ... 81º.
    b) ... 90º.
    c) ... 96º.

    Calcula las soluciones "naturales". ¿Hay soluciones no "naturales"?

127. El cubo del príncipe Ruperto

    Uno de los juguetes favoritos de Pepe Chapuzas es el cubo de Rubik. Tiene una asombrosa habilidad (yo diría innata) para manipularlo... Hablando de cubos... Un día en clase conté la paradoja del cubo del príncipe Ruperto (que era un príncipe de verdad). Conté que se trataba en realidad de dos cubos del mismo tamaño, solo que a uno se le había horadado un túnel (con su agujero de entrada y su agujero de salida) de manera que a través de él podía pasar el otro cubo (sin forzarlos y con holgura)... Y que de hecho, los matemáticos habían logrado hacer pasar por el mismo túnel otro cubo aún mayor (de nuevo sin forzarlos y con holgura)... Mis alumnos me miraron con escepticismo. Pepe también... pero solo un rato... Al día siguiente Pepe trajo a clase un modelo en cartulina (un poco chapucero, todo hay que decirlo) para ilustrar la paradoja...

    Si tienes habilidad, infórmate de cómo se hace, fabrica un modelo, y se lo enseñas a tus compañeros...
    La misma paradoja ocurre con otros cuerpos geométricos como el tetraedro y el octaedro... Investiga el tema y nos cuentas lo que descubras...

126. Un mensaje incompleto

    Pepe Chapuzas ha enviado el siguiente mensaje electrónico a sus compañeros. (Y de paso a mí). Lo transcribo aquí para que os entretengáis un rato...

    Completa este mensaje con las cifras que faltan. (Las cantidades se escriben con cifras, no con letras).
    En este mensaje, la cifra 0 aparece ....... vez/veces, la cifra 1 aparece ....... vez/veces, la cifra 2 aparece ....... vez/veces, la cifra 3 aparece ....... vez/veces, la cifra 4 aparece ....... vez/veces, la cifra 5 aparece ....... vez/veces, la cifra 6 aparece ....... vez/veces, la cifra 7 aparece ....... vez/veces, la cifra 8 aparece ....... vez/veces y la cifra 9 aparece ....... vez/veces.

125. La cuerda y la corona...

    Estábamos repasando las fórmulas básicas de Geometría con un problema clásico. Había que calcular el área de la corona circular a partir de la longitud (1 metro) de la cuerda tangente a la circunferencia interior. Los chicos se quejaban de que faltaban datos. Pero Pepe Chapuzas dio fácilmente con la solución. Inténtalo y me cuentas tu resultado...

124. Tangencias...

    Pepe Chapuzas recurre con frecuencia a figuras con tangencias para sus retos. Este dibujo sencillo que descubrí en su cuaderno me llamó la atención. Venía acompañado, como no, de una preguntita...

    Si un círculo rojo tiene 1 metro cuadrado de área... ¿cuánto mide el área de un círculo verde?

    Responde detallando todos los pasos. Te espera un positivo...

123. Un triángulo de regalo

    Como era el cumpleaños de Pepe Chapuzas los compañeros le han "regalado" un problemilla. Pepe lo ha leído en voz alta en clase...

    Los lados de un triángulo medidos en metros son números naturales. El perímetro es de 8 metros. ¿Cuánto mide su área?

    ¡A por el área! ¡Ánimo!

122. Las cabras monteses

    En la excursión que hicimos a la sierra vimos cuatro cabras monteses encaramadas en los riscos. Entonces a Pepe Chapuzas se le ocurrió el siguiente acertijo:

    ¿Cómo habría que colocar a las cuatro cabras monteses para que las cuatro equidisten entre sí, es decir, que cada una esté a la misma distancia de las otras tres, de modo que las cuatro estén a la misma altitud sobre el nivel del mar? Hay que tener en cuenta que no pueden estar a menos de 200 metros unas de otras para que no se peleen.

    Colócalas. Y ten cuidado para que no se peleen.

121. ¿Dónde están los primos?

    Responde razonadamente a esta pregunta que ha pinchado Pepe Chapuzas en el corcho de clase:

    En el intervalo [1000000!+2, 1000000!+1000000] hay 999999 números naturales consecutivos, pero ¿cuántos números primos hay?

    ¿Cuántos crees tú que hay? Razona la respuesta.

120. Un chicle por un polinomio

    En clase se habían apostado un chicle por culpa de este polinomio. Pepe Chapuzas lo había sacado de no sé dónde y decía que se podía escribir como producto de dos polinomios con coeficientes enteros. Algunos compañeros quisieron factorizarlo con la regla de Ruffini, pero como así no salía empezaron a sospechar que Pepe les estaba tomando el pelo. La cuestión acabó en porfía y en la ya famosa apuesta del chicle. Y tú... ¿por quién tomarías partido?

    Yo apuesto por Pepe, pero... ¡ojo! ¡En clase no quiero chicles! Escribe el polinomio como producto de dos polinomios con coeficientes enteros. En vez de un chicle te llevarás un positivo...

119. La altura del monumento

    Profe, ¿ha visto lo bonito que es el nuevo monumento? Me ha dicho el escultor que las cuatro esferas son iguales, pues tienen 1m de radio, y que las cuatro son tangentes entre sí, las tres de la base apoyadas en el suelo y la de arriba apoyada en las otras tres. He calculado la altura del monumento pero no sé si está bien...

    Está claro que a Pepe Chapuzas le gustaba el nuevo monumento. A mí también, la verdad... ¿Te atreves a calcular su altura? Espero tu respuesta...