132. Infinita...mente

    A los chicos les llama la atención las "operaciones" con el infinito en los límites. En la última revisión de cuadernos vi que Pepe Chapuzas se las aprendió mediante "razonamientos" como los siguientes...

    Ocho entre infinito es cero porque si tengo que repartir ocho caramelos entre infinitos chicos no tocan a nada. 
    Ocho entre cero por la derecha es infinito porque si tengo que repartir ocho litros de perfume en frasquitos infinitésimos necesito una infinidad de ellos.

    "Razona" como Pepe las "operaciones" siguientes:  

83. Un interés continuo

    Profe, entiendo el interés simple porque no es otra cosa que la fórmula del aumento. Si C es el capital inicial, R es el rédito anual y T es el tiempo en años, entonces tenemos para el capital final: C·(1+R·T).
    También entiendo el interés compuesto porque no es otra cosa que varios aumentos sucesivos: C·(1+R)^T si la capitalización es anual.
    Y entiendo que el período de capitalización sea menor que un año. Para N períodos en un año tendremos: C·(1+R/N)^N·T. Así, si la capitalización es mensual, el rédito mensual sería R/12 y el tiempo en meses sería 12·T. (Lo que no deja de ser una chapuza eso de medir el tiempo por meses ya que no todos los meses duran lo mismo).
    Pero yo creo que el interés debe capitalizarse inmediatamente, en períodos de capitalización infinitésimos (infinitamente pequeños). En tal caso habría infinitos períodos, ¿verdad? Y... ¿no es esto un límite?

    Pepe Chapuzas había resuelto solito el problema del interés continuo...
    ¡Ojo! La calculadora da para el número e la aproximación 2,718281828... pero, a pesar de las apariencias, e no es un número racional.
    Si un banco te ofreciera, por un depósito anual, un interés continuo del 8% (es decir, R=0,08) entonces... ¿Cuál sería la tasa anual equivalente (TAE)?
    (Si te ocurriera de verdad, dime de qué banco se trata).

68. El límite escondido

    Profe, ¡qué despiste! Pensé que había terminado el examen... Me puse a repasar... y cuando faltaban dos minutos para que sonara la campanilla le di la vuelta a la hoja de enunciados y... ¡allí estaba escondido! ¡Me faltaba un límite por hacer!

    No he visto a nadie más despistado que Pepe Chapuzas. Cuando corregí su examen esto fue lo que me encontré:

    Como veis, a Pepe no le dio tiempo de explicar lo que había hecho...
    ¿Es correcto el resultado? Explica tú todos los pasos. Espero tu respuesta...

44. L'Hôpital al límite (Bachillerato)

    Profe, mire este límite. Como el seno y el coseno son funciones acotadas, cuando x tiende a infinito me sale la indeterminación  ∞ / ∞  que en teoría podría resolverse con la regla de L'Hôpital. Pero si aplico la regla de L'Hôpital y me pongo a derivar funciones obtengo de nuevo la misma indeterminación. Al cabo de cuatro intentos me sale la fracción del principio con lo que no llego a ninguna parte... ¡Qué chapuza de regla se inventó L'Hôpital!

     Pepe Chapuzas está poniendo a prueba la regla de L'Hôpital. ¿Falla algo? Razona la respuesta y calcula el límite. Espero tu respuesta.

2. Ruffini para todo

    Pepe Chapuzas no tiene solución, y si no, mirad cómo resolvió el siguiente límite:

    El resto no lo entendí, así que, por supuesto, tuvo que explicármelo:

 

    Profe, yo empecé sustituyendo las  x  por  − ∞ , luego hago las potencias, y me atranqué porque me salía una indeterminación. Hasta que me acordé del teorema del resto, ese que dice que da igual sustituir las  x  por  a , que el resto de dividir entre  x – a , es decir "lo de Ruffini", ya sabe, y eso es lo que hice. Al final me salió  − ∞ .

    Me quedé perplejo. ¡Nunca había visto tamaña chapuza!
    ¿Funciona el método de Pepe para todos los polinomios, con   − ∞  y con  + ∞  ?
Intentad darme una explicación.

    En clase habéis utilizado la regla de Ruffini con el teorema del resto y en la factorización de polinomios. Pero hay más... En este enlace podrás ver otra aplicación de la regla de Ruffini:

                                                              Sistema Binario

    Hasta pronto.