296. Esferoides...

    Como aplicación de la integral definida estábamos calculando volúmenes de sólidos de revolución. Pepe Chapuzas puso su granito de arena:

    Profe, mire. Si giro una elipse alrededor de su eje mayor obtengo una especie de balón de rugby, pero si giro la elipse alrededor de su eje menor obtengo una especie de ovni...

    Había que llamar a estos objetos por su nombre: eran esferoides (o elipsoides de revolución). Maticé con apellidos: el primero era el esferoide oblongo y el segundo el esferoide oblato... A Pepe se le ocurrió el siguiente problemilla:

    Calcula la excentricidad de una elipse sabiendo que al girarla alrededor de sus ejes el volumen del esferoide oblato es el doble del volumen del esferoide oblongo...

    Gira y gira la elipse y calcula su excentricidad.

295. Inversos...

    Hay alumnos que se desesperan si los ejercicios y problemas no son inmediatos y abandonan su resolución si tienen que pensar más de dos minutos... No es el caso de Pepe Chapuzas. Pepe es capaz de derrochar su tiempo para resolver un problema de varias maneras... El siguiente lo resolvió de cinco formas diferentes. Había que representar en la recta real, utilizando regla y compás, el inverso "b" de un número real "a", es decir, b = 1/a. Aquí se esbozan las cinco soluciones de Pepe... Justifícalas, y si sabes de otra solución diferente, añádela.

Primera solución

Segunda solución

Tercera solución

Cuarta solución

Quinta solución

293. La elipse del jardinero

    Estábamos en el patio trazando una elipse con el método del jardinero... Habíamos clavado dos estacas en el suelo y atado a ellas los extremos de una cuerda. (La longitud de la cuerda era mayor que la distancia entre las estacas.) Y deslizábamos una tercera estaca a lo largo de la cuerda en tensión realizando un surco en el suelo: la elipse. En un cierto momento de este proceso Pepe Chapuzas gritó:

    ¡Alto! ¡La cuerda forma aquí un ángulo recto!

    Cuatro veces detuvo Pepe el trazado de la elipse para comentar lo mismo... Y debió de darle vueltas al asunto porque al regresar a clase insistió en ello:

    Profe, no en todas las elipses la cuerda tensada puede formar ángulos rectos, ¿verdad? Yo creo que esto depende de su excentricidad...

    Dejo que lo penséis. Contadme lo que averigüéis...

292. Una razón irracional

    Profe, mire. El cuadrado de un número par es un número par y el cuadrado de un número impar es un número impar. La prueba es muy sencilla... Si un número es par, entonces termina en 0, 2, 4, 6 u 8 y su cuadrado terminará en 0, 4, 6, 6 o 4 respectivamente. Y si es impar, entonces termina en 1, 3, 5, 7 o 9 y su cuadrado terminará en 1, 9, 5, 9 o 1 respectivamente...

    Pepe Chapuzas estaba orgulloso de haber deducido algo... que todo el mundo sabía...
    Aprovechando su "demostración" le hablé de la irracionalidad de √2. Le recordé que √2 era el valor de la razón entre la diagonal y el lado de un cuadrado como ya habíamos visto con el teorema de Pitágoras. ¡Era una razón irracional! Y añadí que esto se podía demostrar por reducción al absurdo, es decir, suponiendo que √2 fuera racional y llegando a una contradicción... Pepe estuvo muy atento a la explicación: esto es lo que apuntó en su cuaderno...

    Si √2 fuera racional, se podría escribir como una fracción irreducible, o sea, √2 = a/b  (siendo a y b coprimos)... 
    Por lo tanto, elevando al cuadrado, a²/b² = 2, 
y despejando, a² = 2b²,    (*) 
por lo tanto a² sería par... y a también,
o sea, a = 2c, para cierto número natural c.
por tanto, a² = 4c²,    (**)
e igualando (*) y (**) tenemos 2b²  = 4c², y despejando, b²  = 2c², 
y por lo tanto b² sería par... y b también...
    Pero si a y b fueran ambos pares, no serían coprimos... y la fracción irreducible a/b sería una fracción reducible (se podría simplificar dividiendo por 2)... en evidente contradicción...
    Por todo ello, √2 no se puede escribir como una fracción irreducible... y no es un número racional... sino irracional....

    Ahora te toca a ti. Demuestra que √3 es un número irracional.

291. El hexágono de Brianchon

    Un día me puse a hablar del terorema de Brianchon... El teorema afirmaba que si A, B, C, D, E y F eran los vértices consecutivos de un hexágono circunscrito a una circunferencia, entonces las diagonales AD, BE y CF concurrían en un punto Z.

    Pepe Chapuzas esbozó una demostración que se basaba en el concepto de potencia de un punto respecto de una circunferencia... ¿Te atreves tú?

288. El teorema de Marden

    A Pepe Chapuzas le apasionan los resultados en los que se mezclan distintas partes de las Matemáticas... Por ejemplo, la identidad de Euler:

    Así que un día le hablé del teorema de Marden...
    Empecé con Gauss: que demostró que un polinomio complejo de grado N tenía exactamente N raíces (teorema fundamental del Álgebra); y que representó los números complejos como puntos de un plano (el plano de Gauss).
    Después seguí con Steiner: que resolvió el problema de encontrar la elipse de mayor área inscrita en un triángulo, que resultó ser la que pasa por los puntos medios de los tres lados (la inelipse de Steiner.)
    Y así llegué a Marden: que cogió un triángulo en el plano de Gauss y un polinomio complejo de tercer grado de modo que las raíces de este fueran los vértices de aquel, y descubrió que las raíces de la derivada del polinomio eran los focos de la inelipse de Steiner (teorema de Marden).

 

    Pepe no podía disimular su asombro... Se puso a garabatear en su cuaderno y al cabo de un rato me comentó:

   

    Profe, mire. La raíz de la segunda derivada del polinomio cae en el baricentro del triángulo... y el centro de la inelipse de Steiner también...

    Demuestra lo que ha dicho Pepe y me lo mandas... pero sin garabatos.

    Si te resulta difícil imaginarte polinomios con coeficientes imaginarios, supón que son reales. En tal caso...

    a) El triángulo no puede ser escaleno... ¿Por qué?

    b) ¿Cuándo será equilátero el triángulo?

    c) ¿Cuándo serán reales y cuándo imaginarios los focos de la inelipse de Steiner?

287. ¡A optimizar!

    Pepe Chapuzas ha propuesto dos ejercicios de optimización. Uno de minimizar y otro de maximizar:

    Calcula las dimensiones de la pirámide de menor volumen circunscrita a un cubo de lado 10cm.

    Una esfera roja está inscrita en un cono que a su vez está inscrito en una esfera de radio 10cm. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del cono para que la esfera roja sea lo más grande posible?
 

    Resuelve los dos ejercicios. Hay dos positivos esperándote...

284. La esfera de Dandelin

    Para explicar las secciones cónicas dibujé en la pizarra lo mejor que pude un cono recto que pretendía cortar con planos oblicuos. La primera sección cónica que obtuve fue la elipse. Pepe Chapuzas, que ya había visto la elipse en clase de Dibujo, saltó:

    Profe, lo que ha dibujado parece un cucurucho de barquillo... ¡Solo le falta el helado!

    Entonces dibujé, como si fuera una bola de helado, una esfera de Dandelin: una esfera encajada en el cono y tangente al plano oblicuo... No sé que tipo de visión espacial tiene Pepe pero su pregunta me pilló de sorpresa...

    Profe... ¿No caerá el punto de tangencia entre la esfera y el plano en un foco de la elipse, por un casual?

    Demuestra que, efectivamente, el punto de tangencia es uno de los focos de la elipse...
   

282. Los cuadrados equilibristas (2ª parte)

    ¡Más difícil todavía! Cuatro cuadrados equilibristas intentan hacer un equilibrio que parece imposible. ¡Están unidos por cuatro vértices formando una cadena!... Para ayudarse en el ensayo cada pareja de cuadrados opuestos se ha unido con una goma elástica roja enganchada en sus centros... De pronto se percatan de que las dos gomas siempre tienen direcciones perpendiculares... y tienen la misma longitud...

    Pepe Chapuzas ha ilustrado un sorprendente resultado conocido como teorema de Van Aubel...   

    Busca un enunciado y una demostración de este teorema y nos lo cuentas a todos...

281. Los cuadrados equilibristas

    Cinco cuadrados equilibristas están en equilibrio... De pronto se dan cuenta de que hay un cuadrado y un triángulo que tienen la misma área. (Están marcados con la letra A.) ¡Demuéstralo!

    Pepe Chapuzas te reta con este reto... Resuélvelo sin perder el equilibrio...

278. Un octágono mixtilíneo

    Profe, mire. Este círculo y este cuadrado tienen dos cosas en común: tienen el mismo centro (son concéntricos) y tienen la misma área (1 metro cuadrado). La intersección (en verde) es un octágono con 4 lados rectos y 4 lados curvos: es mixtilíneo... ¿Cuánto miden el área y el perímetro de este octágono mixtilíneo?

    Aquí tenéis el reto que Pepe Chapuzas ha propuesto para el fin de semana...

275. Las combinaciones con repetición o el rectángulo de Chapuzas...

    Habíamos explicado las combinaciones ordinarias y habíamos visto su relación con los coeficientes binomiales y el triángulo de Pascal... Vimos algunas propiedades e hicimos una tabla de valores de M sobre N.

    Al terminar la explicación comenté que este curso no íbamos a ver las combinaciones con repetición porque no estaban en el temario... A Pepe Chapuzas le debió de disgustar esto y debió de investigar lo que eran las combinaciones con repetición por su cuenta ya que al día siguiente trajo lo siguiente:

    Profe, mire: he encontrado una propiedad de las combinaciones con repetición similar a una que vimos ayer de las combinaciones ordinarias... Además me he dado cuenta de que, a diferencia de las combinaciones ordinarias que formaban en la tabla de valores un triángulo porque N era menor o igual que M (el triángulo de Pascal), en las combinaciones con repetición N puede ser mayor que M y en una tabla de valores no se formaría un triángulo sino un rectángulo (o un cuadrado)... 

    Pepe casi se quedó sin respiración... A partir de entonces denominé a ese rectángulo el rectángulo de Chapuzas...

    Investiga qué relación hay entre las combinaciones con repetición y las combinaciones ordinarias...
    Comprueba la propiedad que ha encontrado Pepe...
    Rellena el rectángulo de Chapuzas,,,

274. Un cuadrilátero especial (2ª parte)

    Profe, mire el dibujito... He leído que en cualquier cuadrilátero (azul), las bisectrices (verdes) delimitan un cuadrilaterito cíclico (inscribible en una circunferencita)...

    Interrumpí a Pepe Chapuzas para advertirle que eso no ocurría siempre... El cuadrado era un contraejemplo evidente ya que sus bisectrices concurrían en un punto: el centro del cuadrado...

    Demuestra que si las bisectrices delimitan un cuadrilaterito, este es cíclico.
    Pepe, además, ha añadido las siguientes preguntitas...
 
    ¿Cuándo el cuadrilaterito es un rectángulito?
    ¿Cuándo es un cuadradito?
    ¿Cuándo es un deltoide pequeñito (una cometita)?
    ¿Cuándo no hay cuadrilaterito?

272. Complejos sin palabras

    Pepe Chapuzas está aprendiendo símbolos matemáticos...

    Profe, mire. Si escribo el enunciado de un problema en castellano solo lo entienden los que sepan castellano, pero si utilizo símbolos, lo puede entender todo el mundo... Bueno..., todo el mundo que controle los símbolos matemáticos, se entiende...

    Como ejemplo propuso el siguiente ejercicio de números complejos. Aunque a Pepe se le ha escapado un detalle que lo delata como hispanohablante: el signo de interrogación "¿".

    Veamos si entiendes este ejercicio sin palabras y lo resuelves... pero con palabras.

270. Intersección imaginaria...

    Cada alumno tenía que preparar un tema y explicarlo en clase. Pepe Chapuzas eligió la potencia de un punto respecto de una circunferencia... Y la definió de la siguiente manera:

    Sea P un punto y C una circunferencia. Sea R cualquier recta que pase por P y sean A y B los puntos de intersección de la recta R y la circunferencia C. La potencia del punto P respecto de la circunferencia C es el producto escalar de los vectores PA y PB.

    Demostró que la potencia así definida era independiente de la recta elegida... Solo indiqué un problema en su exposición: no todas las rectas que pasaban por el punto P cortaban a la circunferencia C... Pepe, por no reconocer su leve error, comentó que, en caso de no cortarse realmente, habría puntos de intersección con coordenadas complejas imaginarias y que, seguramente, su definición de potencia seguiría siendo válida...

    Una auténtica chapuza... De todos modos comprueba si es cierto lo que ha conjeturado Pepe...
(No se pide ninguna demostración. Basta con elegir cualquier circunferencia, cualquier punto exterior y cualquier recta que pase por el punto y no corte a la circunferencia.)

267. El teorema de Apolonio

    Mandé buscar información sobre el teorema de Apolonio, también llamado teorema de la mediana, y Pepe Chapuzas dio el siguiente enunciado:

    En un triángulo, una mediana parte un lado por la mitad. El teorema de Apolonio afirma que la suma de los cuadrados de la mediana y del medio lado es igual a la media de los cuadrados de los otros dos lados...

    El enunciado era un poco confuso, por no decir chapucero... Menos mal que venía acompañado de dibujos que lo aclaraban bastante bien.

    No incluyo la demostración que dio Pepe. Esa me la tienes que dar tú...

266. Trigonometría hiperbólica

    Profe, ¿nos tenemos que aprender todas las fórmulas trigonométricas? ¡Son demasiadas!...

    Era Pepe Chapuzas el que se quejaba... Le comenté que no había motivos para protestar puesto que no íbamos a ver la trigonometría hiperbólica, la hermana gemela de la trigonometría circular de la que se quejaba tanto... Y que todavía había una hermana mayor, que era la trigonometría esférica... Sabía que iba a despertar su curiosidad, así que le definí las funciones sh (seno hiperbólico) y ch (coseno hiperbólico):

    Y me atreví a darle tres fórmulas de trigonometría hiperbólica que enseguida relacionó con las equivalentes de trigonometría circular...

    Pepe Chapuzas no tuvo ningún problema en demostrar estas tres fórmulas a partir de las definiciones de sh y ch... Hazlo tú también.

264. Ceva y las cevianas

    Mandé a mis alumnos buscar biografías de matemáticos célebres y Pepe Chapuzas eligió a Giovanni Ceva. Y de paso habló de las cevianas y del teorema de Ceva...

    En un triángulo, una ceviana es una recta que pasa por un vértice pero no por dos.

    El teorema de Ceva afirma que tres cevianas (una por vértice) son concurrentes en un punto interior del triángulo si y solo si se cumple la igualdad abc=xyz. (Ver dibujo.)

    Solo añadí que el teorema se puede generalizar para cevianas concurrentes en un punto exterior.

    Demuestra, utilizando el teorema de Ceva, que las medianas, las bisectrices, las alturas y las mediatrices de un triángulo acutángulo concurren, respectivamente, en el baricentro, el incentro, el ortocentro y el circuncentro. (¡Ojo! Las medianas, las bisectrices y las alturas son cevianas pero las mediatrices ¡no!)

262. En el plano complejo

    Cuando expliqué que los números complejos se podían representar como puntos de un plano a Pepe Chapuzas se le abrieron los ojos... Enseguida hizo lo contrario: representó puntos del plano como números complejos y tradujo algunas recetas de la Geometría a la Aritmética Compleja...

    Comprueba geométricamente que las recetas complejas de Pepe funcionan.

256. El teorema de la bisectriz

    Mandé un trabajo de búsqueda. Había que buscar el enunciado y una demostración de un teorema clásico de geometría: el teorema de la bisectriz. Aquí os dejo el dibujo que hizo Pepe Chapuzas para ilustrar el teorema.

    A partir del dibujo redacta un enunciado del teorema y proporciona una demostración. Hay muchas formas de hacerlo.