612. Fórmulas de adición.

    El orden de los sumandos no altera...

    No falla. Siempre cae alguno que responde "el producto"...  Esta vez fue Pepe Chapuzas, así que le mandé que escribiera en una tabla los nombres de las operaciones, los operandos y los resultados... Pepe escribió lo siguiente:

Operación	Operandos	Resultado
Adicción	Sumandos	Suma o total
Sustracción	Minuendo y sustraendo	Resta o diferencia
Multiplicación	Factores	Producto
División	Dividendo y divisor	Cociente
Potenciación	Base y exponente	Potencia
Radicación	Radicando e índice	Raíz

    Pepe seguía teniendo problemas con la suma: había puesto "adicción" en vez de "adición"... Además, en la tabla faltaba la séptima operación (Pepe se había olvidado de los logaritmos). ¿Quieres completar la tabla? ¿Por qué para la adición y la multiplicación hay un solo nombre para los operandos?
    Hablando de adición...  En Trigonometría habíamos visto las fórmulas del seno y del coseno de la suma de ángulos: sen(A+B) = senA·cosB+cosA·senB y cos(A+B) = cosA·cosB–senA·senB.

Pepe, para remedar sus errores, salió a la pizarra de nuevo para demostrar las identidades trigonométricas. ¿Quieres demostrarlas también tú?

604. Ley matemática... (2ª parte)

    Ahora le tocaba el turno al teorema del coseno (o ley del coseno)... Pepe Chapuzas se ofreció voluntario para "explicar" en la pizarra una demostración..., pero la "demostración" consistió en un dibujo... Pepe no dijo ni media palabra...

    Explica el dibujo de Pepe.
    La "demostración" solo vale para ángulos agudos. ¿Cómo harías una "demostración" similar para un ángulo obtuso?

603. Ley matemática...

    Estaba explicando en Trigonometría el teorema del seno (también conocido como la ley de los senos) pero sin hacer ninguna demostración. Pepe Chapuzas tenía ganas de intervenir... Me preguntó si había que aprenderse la demostración que venía en el libro... y yo le contesté que tenía que aprenderse una demostración diferente a la del libro... Al día siguiente expuso:

LEY DE LOS SENOS

    La tangente significa la que tañe y la secante significa la que siega (ya sabemos por qué). Y el prefijo co- de coseno, cotangente y cosecante significa complementario. Así, el coseno es el seno del complementario, o sea, cos x = sen (90º–x)... Pero... ¿qué significa seno? ¿De dónde ha salido esta palabra? Pues... ni los expertos se aclaran. Unos dicen que es una abreviatura de semicuerda inscrita (del ángulo central doble)... y otros dicen que es una traducción errónea del árabe: se confundió "jiab" = bahía (en latín "sinus") con "jiba", palabra tomada del sánscrito "jya" = cuerda. Los que está claro es que los senos están relacionados con las cuerdas como se aprecia en el siguiente dibujo:

    Pepe no entendió lo que había que hacer... ¿O sí?
    Demuestra que en un triángulo inscrito en un círculo de diámetro 1, cada lado mide el seno del ángulo opuesto.
    Demuestra que esto es equivalente a la ley de los senos (teorema del seno).
    ¿Por qué la tangente es la que tañe y la secante es la que siega?

266. Trigonometría hiperbólica

    Profe, ¿nos tenemos que aprender todas las fórmulas trigonométricas? ¡Son demasiadas!...

    Era Pepe Chapuzas el que se quejaba... Le comenté que no había motivos para protestar puesto que no íbamos a ver la trigonometría hiperbólica, la hermana gemela de la trigonometría circular de la que se quejaba tanto... Y que todavía había una hermana mayor, que era la trigonometría esférica... Sabía que iba a despertar su curiosidad, así que le definí las funciones sh (seno hiperbólico) y ch (coseno hiperbólico):

    Y me atreví a darle tres fórmulas de trigonometría hiperbólica que enseguida relacionó con las equivalentes de trigonometría circular...

    Pepe Chapuzas no tuvo ningún problema en demostrar estas tres fórmulas a partir de las definiciones de sh y ch... Hazlo tú también.

256. El teorema de la bisectriz

    Mandé un trabajo de búsqueda. Había que buscar el enunciado y una demostración de un teorema clásico de geometría: el teorema de la bisectriz. Aquí os dejo el dibujo que hizo Pepe Chapuzas para ilustrar el teorema.

    A partir del dibujo redacta un enunciado del teorema y proporciona una demostración. Hay muchas formas de hacerlo.

247. Suma o producto

    En un ejercicio nos daban la suma de las tangentes de los ángulos de un triángulo y nos pedían el producto de esas tres tangentes. Los alumnos empezaron a rascarse la cabeza sospechando que el ejercicio no se podía hacer con tan pocos datos. Pero Pepe Chapuzas acabó superrápido...

   ¡Profe, si da lo mismo!

    Demuestra que efectivamente la suma y el producto dan lo mismo para cualquier triángulo...
    ¿Qué ocurre con los triángulos rectángulos?

239. La siesta del 8

    Profe, mire. El ocho sueña que es infinito en vez de ocho cuando echa la siesta...

    El chiste de Pepe Chapuzas era muy viejo y no tuvo demasiado éxito... Entonces le comenté que había un ocho que no podía soñar que era infinito porque no podía dejar de ser ocho ni echando la siesta... Se trataba del ocho (que estaba echando la siesta) determinado por las gráficas de las funciones sen(x) y –sen(x) en el intervalo [–π,π]... Hice un dibujo en la pizarra...

    Pepe exclamó:

    ¡Es por culpa del área que encierra!

 

    Estas curvas se llaman sinusoides. Calcula el área (amarilla) encerrada entre las dos sinusoides...

220. Un sangaku

    Pepe Chapuzas se ha aficionado a los sangakus geométricos. Yo creo que hasta se los inventa... Cuando alguno se le resiste lo propone en clase para su resolución colectiva. Este es el último:

    Un sector circular de radio 1 pie se puede abrir y cerrar como un abanico. Al trazar la cuerda del arco del sector, este queda dividido en dos partes: un segmento circular (azul) y un triángulo isósceles (verde). Si inscribimos un círculo en cada parte como se observa en el dibujo... ¿Qué ha de medir el ángulo del sector para que los círculos sean iguales?

    Intenta resolver este sangaku y envíame por correo electrónico el resultado al que hayas llegado.
    Busca (o inventa) algún sangaku interesante y lo propones en clase...

202. Los onceavos de pi

    Mis alumnos estaban aprendiendo a manejar sus calculadoras. Tenían que realizar cálculos con razones trigonométricas, radianes, etc. La calculadora de Pepe Chapuzas era un poco antigua y en un ejercicio dio el siguiente resultado...

    Pepe me dijo que sospechaba que se habían producido errores de redondeo y que la solución podría ser 0.5 pero que no podía asegurarlo. Dejé que le diera vueltas a la cabeza y debió de darle algunas porque al día siguiente me lo confirmó:

    Profe, 0.5 es la respuesta verdadera. Las calculadoras son tan útiles como chapuceras... Mire este dibujo de un endecágono regular de lado 1... Con los vectores está claro, ¿verdad? Y pasa lo mismo con cualquier polígono regular que tenga un número impar de lados... Si n es un número natural:

    No podía ponerle pegas. Estaba muy claro. ¿O no?

    Explica el dibujo de Pepe.
    Opera sin calculadora:

190. Un teorema ninguneado

    Profe, ya me he aprendido el teorema del seno y el teorema del coseno. ¿Por qué no nos enseña el teorema de la tangente?

    En clase pensaron que Pepe Chapuzas estaba bromeando. Quizá lo estuviera... pero el caso es que existe un teorema de la tangente igual de útil que los teoremas del seno y del coseno, y sin embargo es un teorema ninguneado en los planes de estudio... Así que lo escribí en la pizarra... Si a y b son lados de un triángulo y A y B son sus ángulos opuestos respectivamente entonces...

   Pepe ha propuesto resolver el siguiente problema utilizando solamente el teorema de la tangente:

    De un triángulo conocemos dos lados a=123mm y b=277mm, y el ángulo comprendido C=43º30'. Calcula los otros dos ángulos A y B del triángulo.

    Resuelve el problema de Pepe Chapuzas y demuestra el teorema de la tangente. ¡Ánimo!

174. Sumas de arcotangentes

    La enorme cantidad de fórmulas de la Trigonometría "impulsa" a los estudiantes a realizar "enormes" chuletas. Un día "incauté" a Pepe Chapuzas una "presunta" chuleta, que resultó ser unas "enigmáticas" sumas de arcotangentes:

     Profe, si le da la vuelta a la "chuleta" verá una "demostración" de la segunda suma...

    Lo que Pepe llamaba "demostración" no era otra cosa que un dibujo chapucero coloreado con rotuladores...

   Completa y explica la demostración de Pepe, realiza otra demostración para la primera suma (con dibujo) y busca otra suma de arcotangentes similar. ¡Buena suerte!

135. Una ecuación trigonométrica

    Esta ecuación trigonométrica estaba en la última página del cuaderno de Pepe Chapuzas. Me dijo que no la había resuelto porque no tenía espacio. ¿Tienes espacio tú para resolverla?

85. El número de Dios y el número del diablo

    Había mandado hacer un trabajo sobre el número de oro, también llamado el número de Dios, que es una constante que se encuentra con frecuencia en la naturaleza y en el arte, y por supuesto en las Matemáticas. Su nombre es Φ (se lee fi) y su valor aproximado es Φ = 1,618... Hay mucho material para buscar: hay mucha información en Internet y hay libros de divulgación enteros dedicados a este número..., así que los alumnos hicieron un buen trabajo. Pepe Chapuzas incluyó en el suyo una curiosa relación entre el número de oro y el número de la bestia, el 666, también conocido como el número del diablo, aunque no hizo ninguna demostración.

    Haz una demostración. Para ello no valen aproximaciones ni calculadoras. Tienes que buscar una definición o una expresión exacta para Φ, y una relación geométrica con el ángulo de 666º.

72. El club de los excéntricos

    Llegaron unos cuantos alumnos, incluido Pepe Chapuzas, con una chapa en la solapa... Preguntados sobre el novedoso ornato, Pepe me aclaró que era el emblema del club de los excéntricos...

 

    Profe, mire. Para entrar en el club solo hay que resolver tres cuestiones relacionadas con el emblema...

    Como ve, se trata de dos elipses semejantes y por ello tienen la misma excentricidad. El eje mayor de la elipse menor es el eje menor de la elipse mayor... Y las tres regiones (roja, amarilla y verde) tienen la misma área...

    Primera cuestión: ¿Cuál es la excentricidad de las elipses?

    Segunda cuestión: Calcula los ángulos del rombo cuyos vértices son los focos de las elipses.

    Tercera cuestión: Demuestra que toda cuerda horizontal de la elipse mayor es partida en tres segmentos iguales por la elipse menor.

 

    ¿Quieres pertenecer al club? ¡A ver si lo consigues...!

69. Una rápida resolución

    ¡Otro problema resuelto por Pepe Chapuzas sin explicaciones!

    Está claro que en este examen no se permitió la calculadora...
    ¿Entiendes lo que ha hecho Pepe Chapuzas? Si es así explícanoslo.

54. Un problema con mucho arte

    Pepe Chapuzas había pintado un cuadro abstracto para un concurso. Luego me confesó que era un problema de Mates pero como se le estropeó el dibujo (lo manchó de zumo) lo aprovechó reutilizándolo. Aquí podéis ver cómo le quedó la chapuza. El enunciado del problema aún estaba por detrás de la lámina.

    Los círculos son tangentes entre sí y sus radios miden 6, 7 y 8 centímetros respectivamente. Los vértices del triángulo son los centros de los círculos. Calcula el área del triángulo y los senos de sus tres ángulos.

    Pepe se había preparado los datos para que el área saliera un número natural y los senos fueran números racionales. Calcúlalo todo y envíame los resultados.

11. El cuadrilátero olvidado (Bachillerato)

    A Pepe Chapuzas le encantan las ilustraciones de los libros. Yo creo que tiene memoria fotográfica porque en menos de un minuto se aprendió la clasificación de los cuadriláteros:

33

    Profe, en la página 33 tenemos, arriba los paralelogramos: el cuadrado, el rectángulo, el rombo y el romboide; y abajo: el trapecio isósceles, el trapecio escaleno, el trapecio rectángulo y, el más feo de todos, el trapezoide. Pero profe, ¡qué chapuza de clasificación!, ¿dónde está mi cometa?

    Le respondí que su cometa era un trapezoide..., y al ver su cara de disgusto añadí que era un trapezoide muy especial: con simetría respecto de una diagonal...; que era tan especial que hasta tenía nombre: era un deltoide...; que para calcular su área servía la fórmula del rombo: A=D·d/2 ..; y que si no estaba en la página 33 sería por puro olvido... No se si quedó satisfecho con mis excusas.

    Al cabo de los años, ya en Bachillerato, propuse el siguiente problema:

    Investiga cuánto miden los ángulos de las teselas de Penrose denominadas "kite" y "dart" y calcula sus áreas sabiendo que los lados mayores miden 10cm. Observa las figuras.

    Pude comprobar la buena memoria de Pepe porque exclamó: ¡Profe, si son deltoides!

    Resuelve también tú el problema. Espero tus comentarios.

    Si quieres saber más sobre cuadriláteros pincha en el siguiente enlace:

Cuadriláteros cíclicos

    Hasta pronto.