260. Polígonos estrellados

    Profe mire. Los polígonos regulares que hemos visto en clase son convexos, pero he visto en Internet que hay otros polígonos regulares que no son convexos. ¡Y son más bonitos, verá...! Se llaman polígonos regulares estrellados por su forma. El más sencillo es el pentágono regular estrellado o pentalfa, que es la estrella de 5 picos. La estrella de 6 picos o estrella de David no es 1 hexágono regular estrellado sino 2 triángulos equiláteros superpuestos. (No hay hexágonos regulares estrellados.) Y luego vienen 2 heptágonos regulares estrellados diferentes (7 picos), 1 octágono regular estrellado (8 picos), 2 eneágonos regulares estrellados (9 picos), 1 decágono regular estrellado (10 picos), etcétera. Vea los dibujos que he hecho... (N es el número de picos.)

    Raro es el día que Pepe Chapuzas no trae algo interesante...
    Con los dibujos de Pepe podemos hacer la siguiente tabla en la que se muestra cuántos polígonos regulares estrellados diferentes hay con N picos, desde N=5 hasta N=10.

    Comprueba que solo son estos los polígonos regulares estrellados con menos de 11 picos (N<11) y continúa la tabla hasta llegar a 20 picos (N=20). No hace falta que dibujes todas las estrellas, se puede completar la tabla con algo de lógica... En cualquier caso, cuéntame cómo lo has hecho.

240. Polígonos naturales, naturalmente...

    Profe, mire. Estos polígonos regulares tienen todos un ángulo interior que mide una cantidad entera (un número natural) de grados sexagesimales. Ayer me puse a averiguar cuántos polígonos regulares (y cuáles) comparten esta peculiaridad... pero se me hizo de noche... Y esta mañana tenía demasiado sueño... ¿Me podría echar una mano?

    Parece que a Pepe Chapuzas se le han pegado las sábanas. Ha llegado tarde a clase... y encima con este problema. Igual piensa que así no le voy a poner un retraso en el parte... Al final, él se quedará con su retraso en el parte y el que resuelva su problema se llevará un positivo. ¡Ánimo!

223. Ciclos de polígonos

    Profe, mire. En casa tengo una bonita colección de polígonos regulares. Empecé a juntar por los lados los que tenía "repes" formando ciclos... Bueno..., esto lo aclaro. Llamé ciclos a las figuras planas que obtenía juntando por los lados polígonos regulares idénticos. La única condición era que tenían que formar una cadena cerrada y que sus centros descansaran sobre una circunferencia imaginaria... En fin... No sé si lo he aclarado u oscurecido así que voy a hacer unos dibujitos para que se entienda:

    La cuestión es muy sencilla... ¿Cuántas ciclos diferentes se pueden formar con cada clase de polígono?

    Pepe Chapuzas ha planteado una interesante cuestión. Investiga el asunto y me cuentas lo que descubras. Espero que la respuesta sea igual de interesante...

212. La estrella elástica...

    Este diseño lo ha realizado Pepe Chapuzas con una goma elástica y cinco chinchetas... Y me ha preguntado...

    ¿Cuántos triángulos y cuántos cuadriláteros hay?

    Tardé un buen rato en acertar...

    ¡A contar triángulos y cuadriláteros! ¿Qué otros polígonos hay?
    Nos vemos.

142. El poliedro de Schönhardt

    Profe, ¿lo que hemos hecho con los polígonos se puede hacer en 3-D? Me refiero a si cualquier poliedro se podría dividir en tetraedros sin añadir vértices...

    Os voy a aclarar lo que quería decir Pepe Chapuzas. (Leed con atención)... Habíamos visto en clase que todo polígono se podía dividir en triángulos sin añadir vértices, como se puede observar en el ejemplo del dibujo, y Pepe preguntaba si ocurriría lo mismo en el espacio tridimensional... Le contesté que un resultado equivalente con poliedros no era cierto y que el poliedro de Schönhardt (un octaedro irregular) era un sencillo contraejemplo, pues no se podía dividir en tetraedros sin añadir vértices.

    Buscad un desarrollo en Internet y construid un poliedro de Schönhardt de cartulina.

134. Con triángulos y cuadrados

    Profe, mire. Estaba jugando con los triángulos equiláteros y los cuadrados para hacer mosaicos, ya sabe, los que tienen los lados de 5cm, y empecé a combinarlos para hacer polígonos. Entonces me pregunté cuántos polígonos diferentes habría suponiendo que...
   a) Tienen que ser convexos.
   b) Sus lados no pueden medir más de 5cm.
   c) Deben estar formados por al menos un triángulo y un cuadrado.
   Por lo que habría que descartar polígonos como los siguientes:

    El primero porque no es convexo, el segundo porque tiene lados de 10cm, y el tercero porque no tiene cuadrados. Yo he encontrado los siguientes: un pentágono, un hexágono, un heptágono, un octágono, un eneágono, un decágono y un dodecágono. ¿Habrá alguno más?

    Os propongo que investiguéis la cuestión. Respondedme con vuestras conclusiones...

133. Las troqueladoras

    Dos troqueladoras de chapa cortan cada una 3 círculos iguales de 10cm de radio. La primera a partir de una lámina triangular y la segunda a partir de una lámina hexagonal tal como se muestra en la figura. ¿Cuánta chapa desperdicia cada una de las troqueladoras?

    Este es el último reto de Pepe Chapuzas. ¡A ver si lo resuelves!

106. Los "perisógonos"

    A Pepe Chapuzas le gusta inventarse términos matemáticos uniendo alegremente raíces griegas. Su última acuñación chapucera es el vocablo "perisógono". Un "perisógono" para Pepe es un polígono que tiene un número impar de lados (y de ángulos obviamente). El siguiente reto va de "perisógonos".

    Los ángulos interiores de cierto "perisógono" son todos diferentes pero se tiene que, ordenados de menor a mayor (o de mayor a menor), están en progresión aritmética. Como hay un número impar de términos en esta progresión hay uno que ocupa el lugar central, y resulta que es un ángulo de 172º. ¿Cuántos lados tiene este "perisógono"?

35. El gato del tangram

    Pepe Chapuzas es un virtuoso del tangram. No se le resiste ninguna figura. En su cuaderno de papel cuadriculado siluetea chapuceramente sus favoritas, como la del gato tumbado.

    El otro día se conmovió con la biografía de G. A. Pick, matemático austríaco de origen judío que murió en el campo de concentración nazi de Theresienstadt (hoy Terezin, Chequia), y como homenaje ha propuesto a sus compañeros que calculen, con la fórmula de Pick, el área que ocupa en su cuaderno el gato del tangram.
    Busca en Internet la fórmula de Pick y calcula esta área teniendo en cuenta que la separación entre puntos es de 1cm y que los puntos del borde de la figura no se ven.
   

33. Los secretos de las estrellas

    Los dibujos del cuaderno de Pepe Chapuzas no son solo ornamentales. Son reglas nemotécnicas o, como dice Pepe, son estrellas con secreto. Mirad las tres estrellas de la contraportada... Y oíd la explicación de Pepe...

    La primera me da el orden de los sostenidos (fa do sol re la mi si) y los bemoles (si mi la re sol do fa) en las armaduras musicales a partir de la escala. La segunda me clasifica los colores en primarios (rojo amarillo azul) y secundarios (verde violeta naranja) a partir del arco iris (sin el añil). La tercera me da el orden de las antiguas esferas celestes (Luna Mercurio Venus Sol Marte Júpiter Saturno) a partir de los días de la semana.

    Busca una estrella y descubre su secreto.

11. El cuadrilátero olvidado (Bachillerato)

    A Pepe Chapuzas le encantan las ilustraciones de los libros. Yo creo que tiene memoria fotográfica porque en menos de un minuto se aprendió la clasificación de los cuadriláteros:

33

    Profe, en la página 33 tenemos, arriba los paralelogramos: el cuadrado, el rectángulo, el rombo y el romboide; y abajo: el trapecio isósceles, el trapecio escaleno, el trapecio rectángulo y, el más feo de todos, el trapezoide. Pero profe, ¡qué chapuza de clasificación!, ¿dónde está mi cometa?

    Le respondí que su cometa era un trapezoide..., y al ver su cara de disgusto añadí que era un trapezoide muy especial: con simetría respecto de una diagonal...; que era tan especial que hasta tenía nombre: era un deltoide...; que para calcular su área servía la fórmula del rombo: A=D·d/2 ..; y que si no estaba en la página 33 sería por puro olvido... No se si quedó satisfecho con mis excusas.

    Al cabo de los años, ya en Bachillerato, propuse el siguiente problema:

    Investiga cuánto miden los ángulos de las teselas de Penrose denominadas "kite" y "dart" y calcula sus áreas sabiendo que los lados mayores miden 10cm. Observa las figuras.

    Pude comprobar la buena memoria de Pepe porque exclamó: ¡Profe, si son deltoides!

    Resuelve también tú el problema. Espero tus comentarios.

    Si quieres saber más sobre cuadriláteros pincha en el siguiente enlace:

Cuadriláteros cíclicos

    Hasta pronto.