286. ¡Ya lo tengo!

    Estaba dictando un problema de sistemas de 3 ecuaciones con 3 incógnitas... Se trataba de un granjero que tenía que comprar cerdos, ovejas y gallinas. Di el dato para la primera ecuación: compró en total 100 animales. Di los datos para la segunda ecuación: cada cerdo costaba 10 pesos, cada oveja costaba 5 pesos y cada gallina medio peso, y el granjero gastó en total 100 pesos... Antes de que diera los datos para la tercera ecuación Pepe Chapuzas exclamó:

    ¡Ya lo tengo!

    Comprueba que no hace falta la tercera ecuación. ¿Cuántos cerdos, cuántas ovejas y cuántas gallinas compró el granjero?

279. Un múltiplo de 6

    Este número de 602 dígitos es un múltiplo de 6. La cifra A aparece 601 veces. ¿Qué cifra es A?

    Resuelve este problemita de Pepe Chapuzas. Es fácil, ¿verdad?

251. Tres dígitos...

    Este es el reto de fin de semana que ha propuesto Pepe Chapuzas:

    Si cogemos al azar un número natural de tres dígitos, ¿cuál es la probabilidad de que la cifra de las unidades sea igual a la suma de las otras dos cifras? ¿Y cuál es la probabilidad sea igual al producto? ¿Y a la diferencia? ¿Y al cociente?

    Espero tu respuesta...

246. Un cuadrado perfecto

    Un día llegué a clase comentando que había encontrado un número natural de dos cifras muy interesante. Resultaba que si a ese número le sumábamos el que se obtenía permutando las cifras, entonces la suma era un cuadrado perfecto.

    Reté a mi clase para que encontraran ese número... Entonces saltó Pepe Chapuzas:

    Profe, ¿le damos las ocho soluciones o basta con una?

    Bueno... Después de la intervención de Pepe tendrás que buscar las ocho soluciones...

244. Con o sin soroban

    Había mandado hacer un ejercicio en clase para resolver por parejas. Como había un número impar de alumnos Pepe Chapuzas se quedó solo...

    Profe, no importa, tengo de compañero a mi soroban...

    Se refería a su ábaco japonés... El ejercicio consistía en averiguar un número natural ABCDE de cinco cifras diferentes que verificaba lo siguiente:

    La pareja formada por Pepe y su soroban fue la primera en resolver el ejercicio. Resuélvelo tú ahora (con o sin soroban) y me envías el razonamiento pormenorizado de cómo lo has hecho.

241. Curiosidades aritméticas

    ¿Seguirá ocurriendo esto con números cada vez más largos?

    Pepe Chapuzas ha pinchado en el corcho de clase esta curiosidad aritmética. Es la primera de la colección que vamos a realizar esta semana. Estamos esperando la tuya. Busca una y colabora... Nos vemos.

240. Polígonos naturales, naturalmente...

    Profe, mire. Estos polígonos regulares tienen todos un ángulo interior que mide una cantidad entera (un número natural) de grados sexagesimales. Ayer me puse a averiguar cuántos polígonos regulares (y cuáles) comparten esta peculiaridad... pero se me hizo de noche... Y esta mañana tenía demasiado sueño... ¿Me podría echar una mano?

    Parece que a Pepe Chapuzas se le han pegado las sábanas. Ha llegado tarde a clase... y encima con este problema. Igual piensa que así no le voy a poner un retraso en el parte... Al final, él se quedará con su retraso en el parte y el que resuelva su problema se llevará un positivo. ¡Ánimo!

226. Un número millonario...

    Cuando entré en clase encontré escrito en la pizarra este reto...

    Calcula este producto y me lo cuentas razonadamente...

206. Sin primos

    Pepe Chapuzas mostró en clase una hoja de papel con una sucesión de números... Era una sucesión peculiar...

    Profe, mire esta sucesión de números naturales formada con las cifras del sudoku, es decir, sin ceros... ¡No contiene ningún número primo!

    Demuestra que, efectivamente, todos los números de esta sucesión son compuestos...

192. El gran panal

    ¡Otro reto de Pepe Chapuzas en el que las abejas son las protagonistas!

    Mis abejas tardan 1 año en construir el gran panal... Van construyendo las celdillas tal como se muestra en la figura... Al cabo de 365 días... ¿Cuántas aristas tendrá el borde del panal? ¿Cuántas celdillas tendrá todo el panal?

    Reselve el reto. Espero que tardes en resolver este reto menos tiempo que las abejas en hacer el gran panal...

184. Cinco divisores

    Profe, mire. Hay números naturales que tienen una cantidad par de divisores naturales y otros que tienen una cantidad impar. Por ejemplo, el 3 tiene 2 divisores (el 1 y el 3) y el 4 tiene 3 divisores (el 1, el 2 y el 4). ¿Sabría decirme cuál es el menor número natural que tiene 5 (y solo 5) divisores naturales?

    No le contesté a Pepe Chapuzas. Dejé que lo pensaran en clase y ahora dejo que lo pienses tú. Averigua de qué número se trata...
    ¿Sabrías decirme qué números naturales tienen una cantidad impar de divisores naturales?

145. El tablero de multiplicar

    Estaba explicando en clase que como nuestro sistema de numeración era decimal (en base 10, es decir, con 10 cifras), bastaba con aprender 9 tablas de multiplicar (la tabla del 0 es trivial). Comenté que yo me aprendí las tablas a la vez en un tablero de 9 filas y 9 columnas como el de la figura. Fue casi como jugar a los barquitos. (7x6=42 ¡hundido!). En el tablero no se contemplaba multiplicar ni por 0 ni por 10... Pepe Chapuzas preguntó cuánto sumaban todos los números del tablero y algunos compañeros realizaron la suma tecleando todos los números en la calculadora... No era eso lo que pretendía Pepe así que complicó el ejercicio:

    Chapuzalandia se parece a la antigua Babilonia en el sistema de numeración sexagesimal. ¡Tienen 60 cifras diferentes! ¿Tienen que aprenderse 59 tablas de multiplicar?... Si hiciéramos un tablero con todas las tablas, ¿cuánto sumarían todos los números del tablero?

    Resuelve este ejercicio (sin usar la calculadora, claro). Y mándame el resultado (en sistema decimal, por supuesto).

143. Los números tartamudos

    Si un número tartamudo ;-) es un número natural que tiene todas sus cifras iguales, ¿cuántos números tartamudos menores que 1 000 000 000 son múltiplos de 33?

    Pepe Chapuzas os ha retado con este ejercicio de divisibilidad. ¡Al ataque (sin tartamudear)!

141. Unos números muy dulces

    Profe, mire. Ayer tenía un trozo de panal con 19 celdillas como el de la figura... Numeré al azar los hexagonitos (del 1 al 19) y, por pura casualidad, la suma de los números en cada una de las 15 filas (tanto verticales como oblicuas) era siempre la misma. ¡Y eso que había filas de 3, de 4 y de 5 celdillas (como se aprecia en el dibujo)!

    El caso es que no sé lo que hice con el panal porque esta mañana no lo he encontrado. ¡Y solo recuerdo cómo numeré las primeras 9 celdillas!

    ¿Quién le hecha una mano a Pepe Chapuzas?

121. ¿Dónde están los primos?

    Responde razonadamente a esta pregunta que ha pinchado Pepe Chapuzas en el corcho de clase:

    En el intervalo [1000000!+2, 1000000!+1000000] hay 999999 números naturales consecutivos, pero ¿cuántos números primos hay?

    ¿Cuántos crees tú que hay? Razona la respuesta.

92. El diario de Pepe Chapuzas

    Profe, hace tiempo que escribo un diario en hojas sueltas. Para que no se desordenaran empecé a numerarlas: 1, 2, 3, 4, ... Ya he escrito tantas hojas que necesito números de 3 dígitos... Un día me puse a contar dígitos... Entiéndame, no contaba hojas sino los dígitos de los números que había ido escribiendo para numerarlas. Y conté 999 dígitos en total. ¿Sabría decirme cuántas hojas escritas tiene mi diario?

    Generalmente es el "profe" el que propone ejercicios al alumno pero en el caso de Pepe Chapuzas muchas veces se invierten los papeles...
    Dejo que lo penséis y me ayudéis a averiguar cuántas hojas tiene el diario de Pepe.

82. Vamos a contar mentiras...

    Como el autocar de la excursión "iba despacio" los chicos empezaron a "contar mentiras". Las mentiras de Pepe Chapuzas tardaron en descubrirse:

    He recibido un valioso regalo. Se trata de un libro antiguo. Al hojear el libro descubrí cinco pétalos de rosa secos entre las páginas 19 y 20. Imaginé que las páginas para guardar los pétalos no habrían sido elegidas al azar, sino que habría algún misterioso motivo. Quizá era el año de algún evento importante: 1920. No sé... Más adelante descubrí que faltaba una hoja. Había sido arrancada de cuajo por lo que las páginas 222 y 223 no podían leerse. Era una lástima. ¿Quién habría sido?...

    Al final, los chicos descubrieron dos mentiras muy gordas en el relato de Pepe. Descúbrelas tú ahora que vamos despacio...

62. El orden de los factores...

    Profe. ¿Cuántas factorizaciones puede tener un número natural?

    Me asombró que Pepe Chapuzas me hiciera semejante pregunta. Ya habíamos explicado en clase que las descomposiciones en factores primos eran únicas para cada número natural, sin contar, eso sí, el orden de los factores... Y así se lo recordé... Entonces me enseñó Pepe en su cuaderno un dibujo de lo que parecían ser naipes de una baraja...

    Mire profe. Yo ya sé que el orden de los factores no altera el producto, pero precisamente me refiero a eso, al orden de los factores, porque a veces se puede descomponer un número natural de varias maneras.

    Pepe había ilustrado las factorizaciones con unos círculos tan chapuceros que parecían aceitunas. Viéndolos era obvio: los primos no se podían descomponer (por eso eran primos), las factorizaciones de las potencias de los primos solo se podían hacer de una manera (pues todos los factores eran iguales), y las demás factorizaciones se podían obtener de varias maneras (según el orden de los factores).

    La respuesta a su pregunta inicial era "permutaciones con repetición" pero faltaba mucho para ver Combinatoria. Al margen de esto, me gustaron tanto los dibujos de Pepe que creo que los utilizaré para introducir el tema de los fractales.

    Investiga qué son permutaciones con repetición. ¿De cuántas formas se puede obtener la factorización de 42000?
    Investiga qué son los fractales. Busca una página web sobre fractales que te llame la atención. Anota su URL.
    Dibuja los naipes correspondientes a las factorizaciones de 13, 14, 15 y 16.
   
    Espero tu respuesta por e-mail.

56. Amistades y parentescos numéricos

    Profe, ¿si dos números son primos entre sí, entonces tienen abuelos comunes?

    Este era el humor de Pepe Chapuzas... Cuando cesaron las risas de los alumnos me dirigí a Pepe para comentarle que entre los números naturales no solo había "parentescos" sino también "amistades". Que dos números eran amigos si uno era igual a la suma de los divisores propios del otro. Que, por ejemplo, los números 220 ♥ 284 eran amigos porque 220=1+2+4+71+142 por un lado y por otro 284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110. Y que además había números llamados perfectos porque eran amigos de sí mismos como el 6=1+2+3 o el 28=1+2+4+7+14, o sea, 6 ♥ 6 y 28 ♥ 28...

    En vista de los ejemplos define qué es un divisor propio.
    Comprueba la "amistad" de las siguientes "parejitas": 1184 ♥ 1210, 2620 ♥ 2924, 5020 ♥ 5564 y 6232 ♥ 6368.
    Comprueba la "perfección" de los siguientes "numeritos": 496 ♥ 496 y 8128 ♥ 8128.
    Nos vemos...

55. ¡"Menudas" potencias!

    Estaba un día en clase relatando la archiconocida leyenda del premio que recibió Susa, el inventor del ajedrez, por tan ingenioso juego. Mejor dicho, del premio que no recibió, porque este consistía en 1 grano de trigo por la primera casilla del tablero, 2 por la segunda, 4 por la tercera, 8 por la cuarta, 16 por la quinta, y así, duplicando y duplicando hasta la última casilla... Teniendo en cuenta que hay 64 casillas en el tablero, la cantidad se podría calcular con las fórmulas de las progresiones geométricas si no fuera porque salía una cantidad descomunal. ¡No había tanto trigo en el mundo...! En la pantalla de la calculadora no cabía si no era en notación científica, que no dejaba de ser una aproximación. Entonces Pepe Chapuzas irrumpió con una interesante cuestión...

    Profe, ¿se podría averiguar la última cifra de este gigantesco número sin tener que calcularlo de forma exacta? ¿Cuál es esa misteriosa cifra que no se puede ver ni siquiera en las calculadoras?

    No me quedó más remedio que improvisar una clase sobre la última cifra de las potencias (con números naturales). Empecé con ...0^N  = ...0, lo cual significaba que las potencias de los números que acababan en 0 también acababan en 0 como se comprobaba fácilmente. Y lo mismo le pasaba a los números ...1, ...5 y ...6. Así que propuse que investigaran cómo acababan las potencias de los números ...4, ...9, ...2, ...3, ...7 y ...8, en este orden. Al momento Pepe garabateó los grafos correspondientes al darse cuenta del comportamiento cíclico de las últimas cifras de las sucesivas potencias de un número...

    Interpreta y explica los diagramas de Pepe.
    Comprueba que no hay ningún número cuyo cuadrado acabe en 2, 3, 7 u 8.
    Comprueba que ...N = ...N⁵ = ...N⁹, es decir, que la última cifra de cualquier número coincide con la última cifra de su quinta potencia y con la última cifra de su novena potencia.
    Teniendo en cuenta lo anterior calcula la última cifra de las potencias 679⁶⁷⁹ y 537⁵³⁷.
    Calcula la última cifra del premio de Susa.