279. Un múltiplo de 6

    Este número de 602 dígitos es un múltiplo de 6. La cifra A aparece 601 veces. ¿Qué cifra es A?

    Resuelve este problemita de Pepe Chapuzas. Es fácil, ¿verdad?

238. El criterio del 11

    Estábamos repasando en clase los criterios de divisibilidad y como ejemplo había que comprobar que 5786 era un múltiplo de 11. Algunos alumnos no se acordaban del criterio del 11 y dividieron directamente 5786 entre 11.

    Los que sí se acordaban del criterio hicieron más o menos lo siguiente:

    Pepe Chapuzas se complicó un poco intentando justificar por qué funcionaba así el criterio del 11. En su cuaderno escribió la siguiente chapuza...

    Leamos despacito el número 5786.
    Cinco mil, setecientos, ochenta, y seis...
    O sea, 5000 + 700 + 80 + 6.
    O sea, 5·1000 + 7·100  + 8·10 + 6.
    O sea, 5·10³ + 7·10² + 8·10 + 6.
    Y si escribimos ahora 10 como los romanos ( 10 = x )
    tenemos 5x³ + 7x² + 8x + 6. ¡Un polinomio! 
    Y también 11 = 10 + 1 = x + 1.
    Así que la división 5786 : 11 se convierte en
    la división de polinomios ( 5x³ + 7x² + 8x + 6 ) : ( x + 1 ).
    Y por el teorema del resto, el resto de esta división será
    5·(–1)³ + 7·(–1)² + 8·(–1) + 6 = – 5 + 7 – 8 + 6 = 0
    que no es otra cosa que el criterio del 11.

    Todo parecía cuadrar... pero a Pepe se le había olvidado que al aplicar el criterio del 11 el resultado no tiene por qué ser 0 sino que puede ser 11 o un múltiplo de 11. ¿Puedes arreglar y terminar esta chapuza de Pepe?
    ¿Cómo se podría aplicar el criterio del 11 con la regla de Ruffini?
    ¿Cuál es el menor múltiplo (natural) de 11 para el que el resultado de aplicar el criterio es 11?
    ¿Y cuáles son los menores múltiplos (naturales) de 11 para los que el resultado de aplicar el criterio es 22, 33, 44...?
    ¿Te atreves a justificar el criterio del 9 al estilo de Pepe Chapuzas?  

143. Los números tartamudos

    Si un número tartamudo ;-) es un número natural que tiene todas sus cifras iguales, ¿cuántos números tartamudos menores que 1 000 000 000 son múltiplos de 33?

    Pepe Chapuzas os ha retado con este ejercicio de divisibilidad. ¡Al ataque (sin tartamudear)!

67. Lotería y superstición

    Pepe Chapuzas me preguntó cuál era el criterio de divisibilidad del 19. Sospeché que me estaba poniendo a prueba así que yo, a mi vez, le pregunté cuál era su interés por saberlo. Entonces Pepe me relató la siguiente historia:

     Profe, mire. Mis padres siempre van a los mismos loteros para comprar los décimos de Navidad porque dicen que son muy "sinceros". Tienen este letrero: "vendemos lotería para coleccionar... porque tocar nunca toca..., y si toca... le devolvemos su dinero"... Mis padres son algo supersticiosos y este año quieren números que sean múltiplos de 19, a saber por qué... Fui con ellos, y con una calculadora por si las moscas, pero cuando llegamos, a la calculadora se le había agotado la batería... Nos vendieron los números 31606, 61845, 18392, 85163 y 16207. Les pregunté a los loteros cómo sabían que eran múltiplos de 19 si no habían hecho las divisiones y uno de ellos me contestó que había aplicado de cabeza el criterio de divisibilidad del 19... Al ver mi cara de extrañeza me fue escribiendo en un papelito la prueba para el 16207... Al 16207 le quitó la última cifra, esto es, tachó el 7, y le quedó 1620; luego duplicó el 7 tachado, es decir, 7·2=14; y este 14 se lo sumó al 1620, o sea, 1620+14=1634. Con este número hizo lo mismo, le tachó la última cifra y le sumó el doble de la cifra tachada, y repitió el proceso hasta que quedó un número menor que 20. Me dijo que si este número fuera 19 (como así pasó al final) el número inicial (aquí el 16207) sería un múltiplo de 19.

    Comprueba con este criterio que todos los números comprados son múltiplos de 19 excepto uno. ¿Cuál?
    ¿Hay algún criterio de divisibilidad similar para el 29, el 39 y el 49...?
    ¿Hay algún criterio de divisibilidad similar para el 7, el 13 y el 17...?