299. Los carritos del supermercado

    Profe, mire. Ayer estuve en el supermercado y había dos filas de carritos encajados. Como no tenía la moneda apropiada no pude coger ningún carrito... pero esa es otra historia. El caso es que me puse a medir las filas de carritos encajados. De las dos filas, la primera tenía 10 carritos y medía 2,9 metros de longitud y la segunda tenía 20 carritos y medía 4,9 metros de longitud... ¿Alguien me puede decir cuánto medía cada carrito? 

    ¡Qué cosas tan raras hace Pepe Chapuzas en el supermercado! En fin, responde a la pregunta de Pepe y que no se te olvide la moneda para el carrito...

286. ¡Ya lo tengo!

    Estaba dictando un problema de sistemas de 3 ecuaciones con 3 incógnitas... Se trataba de un granjero que tenía que comprar cerdos, ovejas y gallinas. Di el dato para la primera ecuación: compró en total 100 animales. Di los datos para la segunda ecuación: cada cerdo costaba 10 pesos, cada oveja costaba 5 pesos y cada gallina medio peso, y el granjero gastó en total 100 pesos... Antes de que diera los datos para la tercera ecuación Pepe Chapuzas exclamó:

    ¡Ya lo tengo!

    Comprueba que no hace falta la tercera ecuación. ¿Cuántos cerdos, cuántas ovejas y cuántas gallinas compró el granjero?

279. Un múltiplo de 6

    Este número de 602 dígitos es un múltiplo de 6. La cifra A aparece 601 veces. ¿Qué cifra es A?

    Resuelve este problemita de Pepe Chapuzas. Es fácil, ¿verdad?

271. El cuarto rectángulo

    Este rectángulo está dividido en cuatro rectángulos. Dadas las áreas de tres de ellos... ¿cuánto mide el área del cuarto rectángulo?

    Aquí os dejo este pequeño reto de Pepe Chapuzas. ¿A qué esperas para resolverlo?

245. Un trapecio rectángulo

    Profe, mire. Conocemos dos lados de este trapecio rectángulo. De los otros dos lados solo sabemos que son iguales. ¿Cuánto mide el área?

   Hay un positivo esperando para el que resuelva este problemita propuesto por Pepe Chapuzas.

237. La ecuación intrusa

    Había mandado una colección de ecuaciones con radicales (raíces cuadradas) para entregar y se me coló una con raíces cúbicas...

    La mayoría de mis alumnos contestó que de ese tipo no se habían visto, pero Pepe Chapuzas empezó de la siguiente manera:

    Si para eliminar las raíces cuadradas elevamos al cuadrado, para eliminar las raíces cúbicas habrá que elevar al cubo...

    Después de varios intentos (había muchos tachones) lo consiguió...
    Demuestra que tú también puedes hacerlo...

235. ¡A lo bruto!

    Había mandado para casa un ejercicio de progresiones. Se trataba de calcular cuánto sumaban los números de las páginas de un libro. Se suponía que había que utilizar las fórmulas que se habían explicado, sin embargo Pepe Chapuzas lo hizo a lo bruto...

    Y como lo hizo a lo bruto el resultado era incorrecto. ¡Se había saltado una página! ¿Cuántas páginas tenía el libro y cuál se había saltado Pepe?

232. La urna de cristal

    Pepe Chapuzas vuelve a amenizar la clase con un desafío matemático...

    Aquella urna de cristal tenía forma de ortoedro. Era una urna completamente cerrada y contenía en su interior 1 litro de agua. Cuando apoyábamos la urna sobre cada una de sus bases el nivel del agua alcanzaba una altura de 20mm, 40mm y 50mm respectivamente. ¿Cuál es la capacidad de esta urna?

    ¡A por el desafío de Pepe! Espero tu respuesta.

220. Un sangaku

    Pepe Chapuzas se ha aficionado a los sangakus geométricos. Yo creo que hasta se los inventa... Cuando alguno se le resiste lo propone en clase para su resolución colectiva. Este es el último:

    Un sector circular de radio 1 pie se puede abrir y cerrar como un abanico. Al trazar la cuerda del arco del sector, este queda dividido en dos partes: un segmento circular (azul) y un triángulo isósceles (verde). Si inscribimos un círculo en cada parte como se observa en el dibujo... ¿Qué ha de medir el ángulo del sector para que los círculos sean iguales?

    Intenta resolver este sangaku y envíame por correo electrónico el resultado al que hayas llegado.
    Busca (o inventa) algún sangaku interesante y lo propones en clase...

214. Un triángulo de Kepler

    Pepe Chapuzas ha propuesto un ejercicio en clase y nadie lo ha resuelto todavía. ¿Quieres ser el primero?

    Los lados de un triángulo rectángulo de área 1m2 están en progresión geométrica. ¿Cuánto mide el perímetro de este triángulo?

    Solo añadí que los triángulos rectángulos con lados en progresión geométrica se llamaban triángulos de Kepler...

213. Leche aguada...

    Un granjero poco ético ha encontrado una forma fácil de obtener leche "semi". De una cántara de ocho litros de leche saca una jarra y repone lo que ha sacado con agua. Remueve bien la leche y el agua de la cántara y vuelve a repetir el proceso, saca una jarra de la cántara y repone de nuevo con agua. De este modo consigue en la cántara 8 litros de su leche "semi", que en realidad contiene un 50% de leche y un 50% de agua. ¿Cuál es la capacidad de la jarra?

    Pepe Chapuzas te invita a plantear y resolver una ecuación... ¡Adelante!

135. Una ecuación trigonométrica

    Esta ecuación trigonométrica estaba en la última página del cuaderno de Pepe Chapuzas. Me dijo que no la había resuelto porque no tenía espacio. ¿Tienes espacio tú para resolverla?

114. Las pelotas saltarinas.

    A alguien se le escapó una pelota saltarina en clase. Como curiosamente no era de nadie, quedó confiscada... Entonces propuse un ejercicio y comenté que el primero en resolverlo se quedaría con la pelota saltarina. Dicté el enunciado para que los chicos lo copiaran en sus cuadernos...

    El centro de gravedad de una pelota saltarina recorre una trayectoria parabólica. La parábola pasa por los puntos (–6,0), (0,18) y (6,0). En el punto (0,9) se encuentra el centro de gravedad de otra pelota saltarina misteriosamente inmóvil. ¿Cuál es la distancia mínima que hubo entre las pelotas saltarinas si ambas tienen de diámetro 1? (Todas las cantidades están expresadas en centímetros.)

    Fue Pepe Chapuzas el que rescató la pelota. ¿La podrías haber rescatado tú?

107. En caída libre

    Pillé a Pepe Chapuzas tirando canicas desde la ventana del aula. Para intentar evitar mi regañina (cosa que no logró) se excusó diciendo que no las estaba tirando, que las estaba dejando caer; que no había nadie en el patio en ese momento; que se trataba de un experimento... Al final se disculpó para evitar el parte de disciplina y el castigo (cosas que tampoco logró). Tuvo que copiar no sé cuantas veces "no se tiran objetos por la ventana" y limpiar el patio... Al día siguiente se disculpó de nuevo en forma de problema. ¡Originalidad no le falta a Pepe precisamente!

    Ayer estaba dejando caer canicas desde la ventana, de lo cual me arrepiento sinceramente, pero antes de que llegara el profe pude comprobar que las canicas tardaban 1 segundo en recorrer la segunda mitad de su trayectoria. ¿Me puede decir alguien desde qué altura dejaba caer las canicas?

97. La jarra y el jarro

    Profe, mire. En casa tenemos una jarra y un jarro. Y a pesar de tener géneros gramaticales diferentes (caprichos lingüísticos de mi familia) le puedo asegurar que son iguales en todo: en forma, en peso y hasta en color. Solo difieren en el uso. Ella es para el agua fría y él para el aceite de oliva. Ayer llené la jarra y el jarro hasta el borde y los pesé. La jarra llena de agua pesaba 2,40 kg, pero el jarro lleno de aceite solo pesaba 2,22 kg. ¿Cuánto pesan la jarra y el jarro vacíos?

    Os traslado la pregunta. No os olvidéis de buscar la densidad del aceite (de oliva, por supuesto).

95. Iván el haragán

    Uno de los divertimentos de Pepe Chapuzas era buscar cuentos con problemas matemáticos. Hay muchos en todo el mundo. El último dice que es una leyenda rusa que encontró en Internet...

   Iván el haragán estaba sesteando junto al puente que cruzaba el río. Estaba recordando el refrán "si quieres patrimonio, pacta con el demonio" cuando se le apareció el mismísimo Satán en persona.
Satán, que sabía lo que Iván pensaba, le propuso una forma fácil de conseguir patrimonio: solo tenía que cruzar el puente. Cada vez que lo cruzara, el número de monedas que llevara en la bolsa se duplicaría. Satán solo le pedía a cambio que cada vez que cruzara el puente le diera 8 de sus monedas... Iván no se lo pensó dos veces. Echó a correr por el puente y cuando llegó a la otra orilla comprobó que la bolsa tenía el doble de monedas. Le dio las 8 monedas prometidas a Satán y volvió a cruzar el puente y lo que le dijo Satán seguía cumpliéndose. Pagó otras 8 monedas y cruzó por tercera vez... y lo mismo... Entonces, cuando Iván se disponía a cruzar el puente por cuarta vez se percató de que ya no le quedaban monedas... Quiso protestar pero Satán ya había desaparecido sin dejar rastro... ¿Cuántas monedas tenía al principio Iván en la bolsa?

    Resuelve el problema planteando una ecuación.

    Y si encuentras algún cuento con algún problema interesante nos lo cuentas, ¿vale?

58. Los quesos de Tic y Tac (2ª parte)

    El mal tiempo insistía y Pepe Chapuzas con sus historias también:

    La última vez que visité a los ratoncillos Tic y Tac estaban alborotados. Don Arquímedes les había explicado por fin los volúmenes... Pero no estaban alborotados por eso sino porque habían fabricado una máquina para resolver ecuaciones de tercer grado siempre que las soluciones estuvieran comprendidas entre –10 y 10 (esta limitación se debía a la escasez de queso). En realidad la máquina consistía en una balanza con dos brazos rectos y cuatro platillos. Los brazos eran sencillamente una regla numerada. A la izquierda estaban los números negativos, –1, –2, –3..., y a la derecha los positivos, 1, 2, 3... En el fiel estaba el 0. Me fueron explicando el funcionamiento de veras entusiasmados... Me dijeron que tenían tres quesos y que los tres medían 10 cm de altura. El primer queso tenía forma de pirámide egipcia y el cuadrado de la base era de 300 cm². El segundo tenía forma de escuadra (o medio sándwich) de 1 cm de espesor y estaba apoyado sobre el canto más largo. El tercero tenía forma de tiza y la base era de 1 cm². Con las fórmulas de don Arquímedes habían calculado que si rebajaban x cm la altura de los tres quesos mediante un corte horizontal, entonces los quesos menguaban x³ cm³, x² cm³ y x cm³ respectivamente. Había además un cuarto queso pequeñito: era un cubito de 1 cm³ de volumen que, según me advirtieron, no se podía cortar en absoluto...

    Llegó la hora de poner un ejemplo: x³ – 8x² + 5x + 14 = 0. Entonces Tic y Tac colgaron los platillos en los números 1, –8, 5 y 14 de la regla, que eran los coeficientes de la ecuación y calibraron la balanza. El quesito cúbico lo pusieron en el platillo del 14. Después fueron cortando lonchas superfinas de los otros tres quesos horizontalmente. Ponían una loncha del primer queso en el platillo del 1, una loncha del segundo queso en el platillo del –8 y una loncha del tercer queso en el platillo del 5. Repitieron el proceso hasta que la balanza se equilibró. Los quesos habían bajado 2 cm. Entonces entendí. El queso de los platillos hacía palanca en los brazos de la balanza y la ecuación representaba la suma de los momentos de fuerza. Por tanto la solución era x = 2. Siguieron haciendo lonchas y llenando los platillos. La balanza se desequilibró al principio pero se equilibró de nuevo para x = 7. ¡Otra solución! Entonces se detuvieron. Les pregunté si su máquina podía calcular soluciones negativas y me respondieron que sí podía pero que necesitaban más queso...
    Comprueba los cálculos de Tic y Tac. ¿Son correctos los principios en que se basa la máquina?
    En la ecuación del ejemplo falta por averiguar una solución negativa ¿Cómo se podría calcular con la balanza de Tic y Tac?