614. Las cuerdas equidistantes.

    Si en un círculo de radio r trazamos tres cuerdas equidistantes (en rojo), tales que la distancia (en azul) entre ellas es precisamente r, entonces los puntos medios de las cuerdas (rojas) son vértices de un triángulo equilátero...

    Encontré este precioso resultado en el cuaderno de Pepe Chapuzas. (Cuando toca revisión de cuadernos, es el suyo el primero que "reviso".) Venía sin demostración... ¿Te atreves...?

613. El triángulo pedal u órtico

    Mis alumnos tenían que exponer una definición geométrica en clase y Pepe Chapuzas trajo la definición de triángulo pedal...

    Dado un triángulo no rectángulo (negro), los pies de sus alturas (azules) son los vértices de otro triángulo denominado pedal u órtico (rojo).

    Demuestra que el ortocentro de un triángulo no rectángulo es el incentro de su triángulo órtico.
    ¿Qué sucede con los triángulos rectángulos?

604. Ley matemática... (2ª parte)

    Ahora le tocaba el turno al teorema del coseno (o ley del coseno)... Pepe Chapuzas se ofreció voluntario para "explicar" en la pizarra una demostración..., pero la "demostración" consistió en un dibujo... Pepe no dijo ni media palabra...

    Explica el dibujo de Pepe.
    La "demostración" solo vale para ángulos agudos. ¿Cómo harías una "demostración" similar para un ángulo obtuso?

603. Ley matemática...

    Estaba explicando en Trigonometría el teorema del seno (también conocido como la ley de los senos) pero sin hacer ninguna demostración. Pepe Chapuzas tenía ganas de intervenir... Me preguntó si había que aprenderse la demostración que venía en el libro... y yo le contesté que tenía que aprenderse una demostración diferente a la del libro... Al día siguiente expuso:

LEY DE LOS SENOS

    La tangente significa la que tañe y la secante significa la que siega (ya sabemos por qué). Y el prefijo co- de coseno, cotangente y cosecante significa complementario. Así, el coseno es el seno del complementario, o sea, cos x = sen (90º–x)... Pero... ¿qué significa seno? ¿De dónde ha salido esta palabra? Pues... ni los expertos se aclaran. Unos dicen que es una abreviatura de semicuerda inscrita (del ángulo central doble)... y otros dicen que es una traducción errónea del árabe: se confundió "jiab" = bahía (en latín "sinus") con "jiba", palabra tomada del sánscrito "jya" = cuerda. Los que está claro es que los senos están relacionados con las cuerdas como se aprecia en el siguiente dibujo:

    Pepe no entendió lo que había que hacer... ¿O sí?
    Demuestra que en un triángulo inscrito en un círculo de diámetro 1, cada lado mide el seno del ángulo opuesto.
    Demuestra que esto es equivalente a la ley de los senos (teorema del seno).
    ¿Por qué la tangente es la que tañe y la secante es la que siega?

289. Doblando el papel de regalo

    Profe, mire. Tengo un cuadrado de papel de regalo.. Es azul por un lado y rojo por el otro. He doblado una esquina de modo que ahora se ven una zona azul en forma de ele y una zona roja en forma de triángulo rectángulo isósceles... Ambas zonas tienen la misma área... Si la ele tiene una anchura de 10cm ¿cuánto mide la hipotenusa del triángulo rectángulo?

    Pepe Chapuzas está preparando regalos... con Matemáticas...
    ¿Cuánto mide la hipotenusa?

288. El teorema de Marden

    A Pepe Chapuzas le apasionan los resultados en los que se mezclan distintas partes de las Matemáticas... Por ejemplo, la identidad de Euler:

    Así que un día le hablé del teorema de Marden...
    Empecé con Gauss: que demostró que un polinomio complejo de grado N tenía exactamente N raíces (teorema fundamental del Álgebra); y que representó los números complejos como puntos de un plano (el plano de Gauss).
    Después seguí con Steiner: que resolvió el problema de encontrar la elipse de mayor área inscrita en un triángulo, que resultó ser la que pasa por los puntos medios de los tres lados (la inelipse de Steiner.)
    Y así llegué a Marden: que cogió un triángulo en el plano de Gauss y un polinomio complejo de tercer grado de modo que las raíces de este fueran los vértices de aquel, y descubrió que las raíces de la derivada del polinomio eran los focos de la inelipse de Steiner (teorema de Marden).

 

    Pepe no podía disimular su asombro... Se puso a garabatear en su cuaderno y al cabo de un rato me comentó:

   

    Profe, mire. La raíz de la segunda derivada del polinomio cae en el baricentro del triángulo... y el centro de la inelipse de Steiner también...

    Demuestra lo que ha dicho Pepe y me lo mandas... pero sin garabatos.

    Si te resulta difícil imaginarte polinomios con coeficientes imaginarios, supón que son reales. En tal caso...

    a) El triángulo no puede ser escaleno... ¿Por qué?

    b) ¿Cuándo será equilátero el triángulo?

    c) ¿Cuándo serán reales y cuándo imaginarios los focos de la inelipse de Steiner?

283. Excesos...

    Profe, mire. Que la suma de los ángulos de un triángulo sea 180º me raya... Verá. Si yo dibujo un triángulo en el bloc de dibujo... pues vale..., pero si trazara un triángulo en el suelo..., quiero decir un triángulo grande..., muy grande..., grandísimo..., entonces el triángulo acabaría curvándose porque el planeta no es plano: ¡los lados serían curvos!... Imagínese un triángulo que tuviera un vértice en el polo norte y los otros dos en el ecuador... La suma de los ángulos de ese triángulo sería mayor de 180º... ¡Podrían ser incluso los tres ángulos rectos y entonces su suma sería 270º!

    Le hablé a Pepe Chapuzas de los triángulos esféricos. Le comenté que, si suponíamos que la Tierra fuera una esfera perfecta, los lados de ese gran triángulo serían arcos de circunferencias máximas. (Circunferencias máximas eran por ejemplo los meridianos y el ecuador.) Y que, en particular, el triángulo de tres ángulos rectos (trirrectángulo) sería un octante (y un octavo) de la superficie terrestre. Y, para terminar, añadí que la suma de los ángulos de un triángulo esférico siempre era mayor de 180º y que ese exceso (llamado exceso esférico) era proporcional al área del triángulo. (El exceso de un octante sería 270º – 180º = 90º.)
    A Pepe no le costó demasiado digerir tanta información de golpe porque ya estaba preguntando:

    ¿Cuál sería el exceso de España? Quiero decir... Si un triángulo esférico en la superficie terrestre tuviera la misma área que España, ¿cuál sería su exceso esférico?

    Calcula el "exceso de España".

267. El teorema de Apolonio

    Mandé buscar información sobre el teorema de Apolonio, también llamado teorema de la mediana, y Pepe Chapuzas dio el siguiente enunciado:

    En un triángulo, una mediana parte un lado por la mitad. El teorema de Apolonio afirma que la suma de los cuadrados de la mediana y del medio lado es igual a la media de los cuadrados de los otros dos lados...

    El enunciado era un poco confuso, por no decir chapucero... Menos mal que venía acompañado de dibujos que lo aclaraban bastante bien.

    No incluyo la demostración que dio Pepe. Esa me la tienes que dar tú...

265. El teorema de Carnot

    Uno de los ejercicios para casa era la demostración del teorema de Carnot. El enunciado decía que para cualquier triángulo acutángulo, la suma de las distancias del circuncentro a los lados era igual a la suma de los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita del triángulo.

    Pepe Chapuzas encontró una preciosa demostración...

    Demuestra el teorema de Carnot y llévate un positivo.
    ¿Qué pasaría si el triángulo no fuera acutángulo?

264. Ceva y las cevianas

    Mandé a mis alumnos buscar biografías de matemáticos célebres y Pepe Chapuzas eligió a Giovanni Ceva. Y de paso habló de las cevianas y del teorema de Ceva...

    En un triángulo, una ceviana es una recta que pasa por un vértice pero no por dos.

    El teorema de Ceva afirma que tres cevianas (una por vértice) son concurrentes en un punto interior del triángulo si y solo si se cumple la igualdad abc=xyz. (Ver dibujo.)

    Solo añadí que el teorema se puede generalizar para cevianas concurrentes en un punto exterior.

    Demuestra, utilizando el teorema de Ceva, que las medianas, las bisectrices, las alturas y las mediatrices de un triángulo acutángulo concurren, respectivamente, en el baricentro, el incentro, el ortocentro y el circuncentro. (¡Ojo! Las medianas, las bisectrices y las alturas son cevianas pero las mediatrices ¡no!)

256. El teorema de la bisectriz

    Mandé un trabajo de búsqueda. Había que buscar el enunciado y una demostración de un teorema clásico de geometría: el teorema de la bisectriz. Aquí os dejo el dibujo que hizo Pepe Chapuzas para ilustrar el teorema.

    A partir del dibujo redacta un enunciado del teorema y proporciona una demostración. Hay muchas formas de hacerlo.

254. La escuadra nueva

    Pepe Chapuzas tiene un juego nuevo de escuadra y cartabón. Para que no se le extravíen los ha firmado con rotulador indeleble...

    Profe, mire mi escuadra nueva, con sus dos catetos igualitos... Por cierto... Me acabo de enterar de que en las escuadras, la longitud del cateto es igual a la suma de los radios de sus circunferencias inscrita y circunscrita. ¡Qué pasada!

    ¿Es cierto lo que afirma Pepe? Espero tu respuesta.

253. Origami y triángulos egipcios

    Bajamos al patio para hacer una demostración de cómo los antiguos egipcios usaban la cuerda de 12 nudos para trazar ángulos rectos. Teníamos una cuerda cerrada de 12 metros, con un nudo a cada metro, y la tensamos para formar un triángulo de lados de 3, 4 y 5 metros respectivamente. Todos sabíamos que este era un triángulo rectángulo... Comenté que los triángulos semejantes a este (con lados directamente proporcionales a 3, 4 y 5) se llamaban triángulos egipcios...

    Ya en el aula, Pepe Chapuzas, al que últimamente le ha dado por el origami, cogió una hoja de papel cuadrada y la plegó llevando un vértice inferior al punto medio del lado superior...

     Profe, ¿a que los triángulos marcados con un asterisco son egipcios?

     Demuéstralo y te llevarás un positivo.

214. Un triángulo de Kepler

    Pepe Chapuzas ha propuesto un ejercicio en clase y nadie lo ha resuelto todavía. ¿Quieres ser el primero?

    Los lados de un triángulo rectángulo de área 1m2 están en progresión geométrica. ¿Cuánto mide el perímetro de este triángulo?

    Solo añadí que los triángulos rectángulos con lados en progresión geométrica se llamaban triángulos de Kepler...

212. La estrella elástica...

    Este diseño lo ha realizado Pepe Chapuzas con una goma elástica y cinco chinchetas... Y me ha preguntado...

    ¿Cuántos triángulos y cuántos cuadriláteros hay?

    Tardé un buen rato en acertar...

    ¡A contar triángulos y cuadriláteros! ¿Qué otros polígonos hay?
    Nos vemos.

199. El póster

    Calcula el área comprendida entre la circunferencia circunscrita y la circunferencia inscrita en un triángulo de lados 13cm, 13cm y 10cm respectivamente.

    Este problema apareció en un póster que decoraba el aula. Lo firmaba Pepe Chapuzas.

    ¿A qué esperas? Calcúlala y llévate un positivo.

177. Un cuadrado de colores

    Pepe Chapuzas os propone este reto. Hay un positivo para el que lo resuelva...

    El triángulo amarillo es un triángulo equilátero inscrito en un cuadrado y comparte con este un vértice. El triángulo azul tiene un área de 1 metro cuadrado. ¿Qué área tiene el triángulo rojo?

74. Entre círculos

    He aquí el reto de esta semana que ha propuesto Pepe Chapuzas...

    Los campos de regadío circulares que se observan desde el avión me inspiraron este reto...
    Si la zona verde tiene un área de 1 metro cuadrado, ¿cuánto mide el área de la zona morada formada por tres círculos que son iguales y tangentes entre sí?

32. ¡Buena puntería! ;-)

    A Pepe Chapuzas también le gustan las novelas policíacas. Lo mejor es que a veces se inventa un relato para detectives matemáticos. Y si no os lo creéis aquí os presento su último caso:

    Siempre me llamó la atención aquella pared agujereada del mesón... El mesonero cuenta una historia diferente cada día sobre el origen de los enigmáticos agujeros para entretener a una fiel clientela tan expectante como incrédula... Esa tarde, al parecer, los famosos agujeros los produjeron las balas que acabaron con el Cojo... Al final, resultó que el Cojo era un triángulo escaleno de malísima reputación... El caso fue que una noche, en un ajuste de cuentas, al Cojo le descerrajaron cuatro tiros en sus puntos notables: el baricentro, el ortocentro, el incentro y el circuncentro... La historia acabó en discusión entre el público acerca de cuál agujero correspondía a cada "centro"...

    Haz de detective matemático y danos una opinión justificada del asunto.