609. Entre barras...

    Hoy tocaba explicar la distancia entre dos rectas que se cruzan. Cuando escribí en la pizarra la fórmula con tiza blanca, vi que Pepe Chapuzas la había copiado en su cuaderno con bolígrafos de varios colores...

    Mire, profe. En esta fórmula hay demasiadas barras, ¡cuatro parejas ni más ni menos!, y como cada pareja significa una cosa diferente... pues las he pintado de diferente color... Así, las barras rojas indican un determinante..., ¡un "auténtico" determinante de orden 3! El resultado del determinante es un número (el producto mixto de 3 vectores), por lo que las barras verdes encierran un número: las barras verdes indican el valor absoluto... Las barras azules indican un "falso" determinante... Digo "falso" porque dentro hay números y vectores... y el resultado es un vector (el producto vectorial de 2 vectores)... Entonces las barras moradas indican el módulo de un vector... ¡Vaya lío! ¡Y todo en una fórmula!

    Haz los cálculos del ejemplo ilustrativo.

256. El teorema de la bisectriz

    Mandé un trabajo de búsqueda. Había que buscar el enunciado y una demostración de un teorema clásico de geometría: el teorema de la bisectriz. Aquí os dejo el dibujo que hizo Pepe Chapuzas para ilustrar el teorema.

    A partir del dibujo redacta un enunciado del teorema y proporciona una demostración. Hay muchas formas de hacerlo.

46. La raíz cuadrada de una matriz cuadrada

    A Pepe Chapuzas le gustan los juegos de palabras. Pero en Mates, disfruta con ellos... viendo la cara de perplejidad de sus compañeros. Además suele hacer preguntas enrevesadas a destiempo. Ayer saltó con esta...

    Profe, si A fuera el cuadrado de una matriz cuadrada B, es decir, si A = B·B = B², entonces A sería también una matriz cuadrada pero ¿la matriz cuadrada B sería la raíz cuadrada de la matriz cuadrada A? Si esto es así, yo he encontrado varias raíces cuadradas de I₂, la matriz identidad de orden 2. Mire:

    Le contesté que sí, que se llamaban raíces matriciales, pero que había que tener cuidado porque había matrices cuadradas que no tenían raíces cuadradas, había otras que tenían una cantidad finita y, finalmente, había matrices cuadradas que tenían infinitas raíces cuadradas. Pepe me miró incrédulo. Ahora la cara de perplejidad era la suya pero no hizo ningún comentario. Se quedó pensativo...

    Comprueba, si no lo has hecho todavía, que todas las matrices del ejemplo de Pepe son raíces cuadradas de  I₂.
    Calcula todas las raíces cuadradas de I₂.
    Encuentra alguna matriz de orden 2 que no tenga raíces cuadradas.

    ¡Ánimo! ¡No es difícil!