614. Las cuerdas equidistantes.

    Si en un círculo de radio r trazamos tres cuerdas equidistantes (en rojo), tales que la distancia (en azul) entre ellas es precisamente r, entonces los puntos medios de las cuerdas (rojas) son vértices de un triángulo equilátero...

    Encontré este precioso resultado en el cuaderno de Pepe Chapuzas. (Cuando toca revisión de cuadernos, es el suyo el primero que "reviso".) Venía sin demostración... ¿Te atreves...?

611. Ángulos y peces

    Empecé el tema de ángulos intentando averiguar que nociones habían asimilado mis alumnos. En la pizarra dibuje 2 ángulos... y pregunté cuál de ellos era mayor... Para sorpresa mía hubo discrepancia de opiniones... (Reconozco cierta malicia en el dibujo.)

    Pepe Chapuzas salió a la pizarra para terminar de arreglarlo...

    El pez grande (ángulo pequeño) se come al pez pequeño (ángulo grande).

    En fin, ya serios pregunté a Pepe si recordaba la demostración de que en un círculo, un ángulo inscrito es la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco...

    ¿Recuerdas tú la demostración?

606. Arte de brujería

    Estábamos viendo la simetría rotacional... Mostré conjuntos que eran idénticos a los que se obtenían rotándolos un cierto ángulo propio (mayor que 0º y menor que 360º). Como la estrella de cinco puntas... que girada 72º alrededor de su centro, se quedaba igualita que estaba...

    Al día siguiente vino Pepe Chapuzas con una de sus brujerías...

    Mire, profe. Imagínese el conjunto de puntos {(cos n, sen n)}, esto es, los puntos de la circunferencia unidad cuyos argumentos en radianes son números naturales n (n=1,2,3,...).

    En esta sucesión de puntos no hay dos coincidentes (es inyectiva) y hay puntos de la circunferencia unidad que no pertenecen a la sucesión (no es suprayectiva)... Ahora giremos este conjunto de puntos, con centro de giro el origen (0, 0) y ángulo de giro α = 31416 – 10000·π radianes. Este ángulo α es pequeñito (aproximadamente 4º12'33")... pero matón... Mire, al rotar, el punto que se hallaba en (cos n, sen n) se situará en (cos(n+α), sen(n+α))... Calulemos:

(cos(n+α), sen(n+α)) =

= (cos(n+31416–10000·π), sen(n+31416–10000·π)) =

= (cos(n+31416), sen(n+31416)).

    O sea, al girar, el conjunto {(cos n, sen n)} se convierte en {(cos(n+31416), sen(n+31416))}...
¿Se da cuenta?, ¡con el minúsculo giro desaparecen 31416 puntos del conjunto (los 31416 primeros puntos de la sucesión)! ¡Esto es arte de brujería!.

    ¡Cuando Pepe Chapuzas hace de brujo...!
    Comprueba que el punto (0, 1) no pertenece a la sucesión.
    Comprueba que no hay dos puntos coincidentes en la sucesión.

291. El hexágono de Brianchon

    Un día me puse a hablar del terorema de Brianchon... El teorema afirmaba que si A, B, C, D, E y F eran los vértices consecutivos de un hexágono circunscrito a una circunferencia, entonces las diagonales AD, BE y CF concurrían en un punto Z.

    Pepe Chapuzas esbozó una demostración que se basaba en el concepto de potencia de un punto respecto de una circunferencia... ¿Te atreves tú?

270. Intersección imaginaria...

    Cada alumno tenía que preparar un tema y explicarlo en clase. Pepe Chapuzas eligió la potencia de un punto respecto de una circunferencia... Y la definió de la siguiente manera:

    Sea P un punto y C una circunferencia. Sea R cualquier recta que pase por P y sean A y B los puntos de intersección de la recta R y la circunferencia C. La potencia del punto P respecto de la circunferencia C es el producto escalar de los vectores PA y PB.

    Demostró que la potencia así definida era independiente de la recta elegida... Solo indiqué un problema en su exposición: no todas las rectas que pasaban por el punto P cortaban a la circunferencia C... Pepe, por no reconocer su leve error, comentó que, en caso de no cortarse realmente, habría puntos de intersección con coordenadas complejas imaginarias y que, seguramente, su definición de potencia seguiría siendo válida...

    Una auténtica chapuza... De todos modos comprueba si es cierto lo que ha conjeturado Pepe...
(No se pide ninguna demostración. Basta con elegir cualquier circunferencia, cualquier punto exterior y cualquier recta que pase por el punto y no corte a la circunferencia.)

254. La escuadra nueva

    Pepe Chapuzas tiene un juego nuevo de escuadra y cartabón. Para que no se le extravíen los ha firmado con rotulador indeleble...

    Profe, mire mi escuadra nueva, con sus dos catetos igualitos... Por cierto... Me acabo de enterar de que en las escuadras, la longitud del cateto es igual a la suma de los radios de sus circunferencias inscrita y circunscrita. ¡Qué pasada!

    ¿Es cierto lo que afirma Pepe? Espero tu respuesta.

189. Los aros de Johnson

    Profe, mire. Mis 3 mejores amigos y yo hemos estado jugando con nuestros aros. Los 4 aros son exactamente iguales. Bueno, los de mis amigos son azules y el mío es rojo, pero los 4 tienen el mismo diámetro... Mis amigos se cansaron enseguida del juego y dejaron sus aros en el suelo. Parecían ser circunferencias de un problema geométrico porque, casualmente, las 3 circunferencias se cortaban en 4 puntos, aunque solo 1 de los 4 puntos era común a las 3 circunferencias (era 1 punto triple) y cada 1 de los otros 3 puntos era común a solo 2 circunferencias (eran puntos dobles)... Entonces se me ocurrió poner mi aro rojo sobre los de mis amigos despacito y... ¡Encajaba!... Mi aro pasaba por los 3 puntos dobles... Ahora los 4 puntos eran triples... ¿Lo ve? Si hubiera sido más grande o más pequeño mi aro no habría encajado... Y no fue casualidad, he comprobado que "siempre" encajan...

    Sí, sería por casualidad, pero Pepe Chapuzas había redescubierto el teorema de los círculos de Johnson.

    Mándame un enunciado y una demostración de este teorema...

169. Parábolas para desorientados

    Estábamos corrigiendo ejercicios de parábolas. En unos el eje de la parábola era vertical y en otros era horizontal. Esto supone siempre una dificultad añadida para alumnos "desorientados"... Pepe Chapuzas, que suele andar bastante "orientado" ha propuesto el siguiente reto...

    Una parábola con eje vertical corta a otra parábola con eje horizontal en 4 puntos. Demuestra que hay una circunferencia que pasa por esos 4 puntos.

    Pepe dice que lo ha resuelto tomando como ejes de coordenadas los ejes de las parábolas... y que ya no da más pistas...

38. Misterios de la derivada

    Profe, cuando hablamos de "esfera" unas veces nos referimos a la esfera maciza y otras a la superficie esférica. Para el equivalente en dos dimensiones tenemos dos palabras: círculo y circunferencia. Creo que los matemáticos tienen muy poca imaginación... o son unos chapuzas. Por cierto, si derivamos el área del círculo respecto del radio nos sale la longitud de la circunferencia, y si derivamos el volumen de la esfera nos sale su área. ¿Es una casualidad? Yo no lo creo...

    Le contesté a Pepe Chapuzas que no era una casualidad, y que cuando supiera algo más de las derivadas lo entendería perfectamente.
    Busca en Internet una explicación y le desvelas a Pepe este misterio.