606. Arte de brujería

    Estábamos viendo la simetría rotacional... Mostré conjuntos que eran idénticos a los que se obtenían rotándolos un cierto ángulo propio (mayor que 0º y menor que 360º). Como la estrella de cinco puntas... que girada 72º alrededor de su centro, se quedaba igualita que estaba...

    Al día siguiente vino Pepe Chapuzas con una de sus brujerías...

    Mire, profe. Imagínese el conjunto de puntos {(cos n, sen n)}, esto es, los puntos de la circunferencia unidad cuyos argumentos en radianes son números naturales n (n=1,2,3,...).

    En esta sucesión de puntos no hay dos coincidentes (es inyectiva) y hay puntos de la circunferencia unidad que no pertenecen a la sucesión (no es suprayectiva)... Ahora giremos este conjunto de puntos, con centro de giro el origen (0, 0) y ángulo de giro α = 31416 – 10000·π radianes. Este ángulo α es pequeñito (aproximadamente 4º12'33")... pero matón... Mire, al rotar, el punto que se hallaba en (cos n, sen n) se situará en (cos(n+α), sen(n+α))... Calulemos:

(cos(n+α), sen(n+α)) =

= (cos(n+31416–10000·π), sen(n+31416–10000·π)) =

= (cos(n+31416), sen(n+31416)).

    O sea, al girar, el conjunto {(cos n, sen n)} se convierte en {(cos(n+31416), sen(n+31416))}...
¿Se da cuenta?, ¡con el minúsculo giro desaparecen 31416 puntos del conjunto (los 31416 primeros puntos de la sucesión)! ¡Esto es arte de brujería!.

    ¡Cuando Pepe Chapuzas hace de brujo...!
    Comprueba que el punto (0, 1) no pertenece a la sucesión.
    Comprueba que no hay dos puntos coincidentes en la sucesión.

605. Suma de cubos...

    Había propuesto un reto de fin de semana que consistía en hacer la demostración de la siguiente igualdad: (1+2+3+4+5+...+n)² = 1³+2³+3³+4³+5³+...+n³. Pepe Chapuzas se valió del siguiente dibujo:

    Profe, mire. Para (1+2+3+4+5)² = 1·1²+2·2²+3·3²+4·4²+5·5² = 1³+2³+3³+4³+5³. ¿Vale esto como demostración?

    No se lo admití como demostración, claro. ¿Puedes hacer tú una demostración en condiciones?

259. Una misteriosa sucesión...

  Esta sucesión apareció en el corcho del aula. Era el último reto de Pepe Chapuzas. Dice que estos números tienen algo en común que no tienen los demás...
    ¿Cuál es el siguiente término de la sucesión? ¿Por qué?
    Pepe me ha soplado que un inglés habría escrito una sucesión diferente. ¿Cuáles serían los primeros términos en este caso?

252. Una sucesión recurrente

    Este era el último ejercicio de la tanda para casa. Iba, está claro, de una sucesión recurrente, pero no se pedía calcular el término general sino solamente el término milésimo. En el cuaderno de Pepe Chapuzas se daba la solución sin ningún cálculo, pero aclaraba que lo había resuelto mentalmente.

    Hazlo tú y me mandas la solución, pero con todos los cálculos escritos y explicados. (Y no vale calcular los mil primeros términos.)

227. Una sucesión muy natural...

    Pepe Chapuzas escribió en la pizarra la siguiente sucesión:

    Es decir, en esta sucesión el número natural N aparece N veces. La pregunta era la siguiente...

    ¿Cuál es el término millonésimo, o sea, A1000000?

    Si lo resuelves te pongo un positivo.

206. Sin primos

    Pepe Chapuzas mostró en clase una hoja de papel con una sucesión de números... Era una sucesión peculiar...

    Profe, mire esta sucesión de números naturales formada con las cifras del sudoku, es decir, sin ceros... ¡No contiene ningún número primo!

    Demuestra que, efectivamente, todos los números de esta sucesión son compuestos...

192. El gran panal

    ¡Otro reto de Pepe Chapuzas en el que las abejas son las protagonistas!

    Mis abejas tardan 1 año en construir el gran panal... Van construyendo las celdillas tal como se muestra en la figura... Al cabo de 365 días... ¿Cuántas aristas tendrá el borde del panal? ¿Cuántas celdillas tendrá todo el panal?

    Reselve el reto. Espero que tardes en resolver este reto menos tiempo que las abejas en hacer el gran panal...

160. Las raíces cuadrada y cúbica a mano (2ª parte)

    Profe, las raíces cuadradas no se han hecho siempre así, ¿verdad? ¿Cómo se hacían antes de las cifras arábigas?

    Conté que con las cifras arábigas viajaron, y nos llegaron, muchos de los algoritmos que utilizamos hoy, como el de la raíz cuadrada, conocido como algoritmo de Al-Banna. Y que antes, para las raíces cuadradas, se utilizaban otros métodos como el de Herón...
    Comenté que con el método de Herón, para extraer la raíz cuadrada de A, se calculaba el límite de la sucesión recursiva: X_n+1=(X_n+A/X_n)/2, donde X₁ era cualquier valor "cercano" a la raíz buscada... Rectifiqué enseguida porque en realidad no se calculaba el límite, sino X₃ o X₄ según la precisión requerida... Y puse como ejemplo la raíz cuadrada de 14. Empecé con X₁ = 4, entonces X₂ = (4+14/4)/2 = 3,75 y por tanto X₃ = (3,75+14/3,75)/2 = 3,741666... lo que me daba una exactitud de ¡cuatro decimales! (Añadí que en la época de Herón no se operaba con decimales sino con fracciones).
    A Pepe Chapuzas le encantó en "nuevo" método y encontró, quién sabe dónde, un método para las raíces cúbicas... Esto encontré en su cuaderno:

    La raíz cúbica del número A es el límite de la sucesión X_n+1=(2X_n+A/X_n²)/3.

    Extrae la raíz cúbica de 14 calculando cuatro términos de esta sucesión...

    Por cierto, ¿sabías que el símbolo de raíz es una erre? ¡Es la inicial de raíz!

131. La sucesión de Fibonacci

    Como ejemplo de sucesiones recurrentes siempre recurro a la sucesión de Fibonacci, por la gran cantidad de propiedades y aplicaciones que posee. Les dejo a mis alumnos que investiguen y jueguen con ella y que "descubran" algún resultado curioso. Pepe Chapuzas ha "descubierto" lo siguiente...

    Profe mire. Si tomamos cuatro términos consecutivos, el producto de los extremos menos el producto de los medios es 1 o –1.

    ¿Ocurrirá siempre así? Si así lo crees tienes que demostrarlo...

109. Una progresión imaginaria

    Pepe Chapuzas tiene un truco para asimilar conceptos: mezcla los temas. En este reto que acaba de proponer en clase enlaza los números complejos y las progresiones:

    El producto de nueve números complejos que están en progresión geométrica es i. Calcula el término quinto de dicha progresión.

    Hay varias soluciones. Encuéntralas todas en forma polar.

    Se pueden definir muchas sucesiones de forma recursiva, es decir, determinando cada término en función de uno o varios términos anteriores. En forma recursiva las progresiones geométricas se escribirían (a_n+1 = a_n · k) y las progresiones aritméticas serían (a_n+1 = a_n + k). Mandelbrot estudió las sucesiones en forma recursiva (a_n+1 = a_n² + k) y descubrió uno de los conjuntos complejos (en el doble sentido de la palabra) más fascinantes de las Matemáticas. Si quieres echarle un vistazo disfruta el siguiente video en pantalla completa:

    (Si así no lo puedes ver, pincha en el siguiente enlace, ODISEA MANDELBROT, de YouTube).