230. Cuadrados de cuadrados

    Profe, mire. Puedo componer un cuadrado grande juntando 6 cuadrados, 7 cuadrados, 8 cuadrados...  ¿Es posible formar cuadrados con cualquier cantidad N de cuadrados (si N > 5)? 

    No le contesté esta pregunta a Pepe Chapuzas. Dejo que la penséis...
    ¿Ocurriría lo mismo con triángulos equiláteros?

219. Los cuadrados del ajedrez.

    Había mandado contar cuántos cuadrados había en un tablero del ajedrez. Alguien respondió demasiado deprisa que eran 8x8=64... Estaba claro que esa no era la respuesta acertada. Había claramente 64 casillas en el tablero, pero además había cuadrados formados por 4 casillas, por 9 casillas... El propio tablero era un cuadrado más... Entonces Pepe Chapuzas, presumiendo de sus conocimientos matemáticos contestó:

   Profe, la solución es el octavo número piramidal cuadrado...

    Pepe se sacó un polinomio de tercer grado de la manga como fórmula y dio con la solución... Los compañeros no entendieron nada la respuesta y tuve que reprocharle a Pepe su actitud. Como "castigo" le mandé que justificara esa fórmula y que demostrara que valía para cualquier tablero de NxN casillas. Pepe, que era muy hábil con el método de inducción dio una clase magistral...

    Investiga qué es un número piramidal cuadrado. Busca y demuestra su fórmula por el método de inducción y justifica por qué nos da el número de cuadrados que hay en un tablero de NxN casillas.

131. La sucesión de Fibonacci

    Como ejemplo de sucesiones recurrentes siempre recurro a la sucesión de Fibonacci, por la gran cantidad de propiedades y aplicaciones que posee. Les dejo a mis alumnos que investiguen y jueguen con ella y que "descubran" algún resultado curioso. Pepe Chapuzas ha "descubierto" lo siguiente...

    Profe mire. Si tomamos cuatro términos consecutivos, el producto de los extremos menos el producto de los medios es 1 o –1.

    ¿Ocurrirá siempre así? Si así lo crees tienes que demostrarlo...

94. Induciendo, que es gerundio

    Había propuesto una demostración por inducción. Se trataba de probar la fórmula que da el máximo número de regiones en que n rectas pueden dividir un plano.

    Pepe Chapuzas entendió muy bien el proceso de inducción como bien se aprecia en la demostración que hizo. Como punto de partida se consideraba sabido que el máximo número de regiones se obtenía si todo par de rectas tenía uno y solo un punto común y tal punto de intersección era distinto para cada par de rectas...

    Profe, mire. Para el caso n=1, o sea, con una recta, es evidente, pues (1²+1+2)/2 = 2 regiones.
    Para n>1 suponemos que la fórmula es cierta para n−1 rectas. Al añadir una nueva recta en las condiciones del enunciado, esta recta cortará a las rectas anteriores en n−1 puntos. Estos n−1 puntos dividen a la nueva recta en n trozos (segmentos y semirrectas). Y cada trozo divide una región del plano diferente, por lo que aparecen n regiones más que hay que sumar a la hipótesis de inducción. Por lo tanto, tenemos n + [(n−1)²+(n−1)+2]/2 = (2n+n²−2n+1+n−1+2)/2 = (n²+n+2)/2 regiones, que es la fórmula que queríamos demostrar.

     Pero además, a modo de propina o añadidura, Pepe incluyó la demostración de la fórmula que da el máximo número de regiones en que n planos pueden dividir al espacio. Para obtener el número máximo de regiones, toda terna de planos debía tener uno y solo un punto común y tal punto de intersección debía ser distinto para cada terna de planos. (Para n=2, los dos planos han de ser secantes en una recta.)

    Intenta demostrar esta fórmula mediante un proceso de inducción matemática.