292. Una razón irracional

    Profe, mire. El cuadrado de un número par es un número par y el cuadrado de un número impar es un número impar. La prueba es muy sencilla... Si un número es par, entonces termina en 0, 2, 4, 6 u 8 y su cuadrado terminará en 0, 4, 6, 6 o 4 respectivamente. Y si es impar, entonces termina en 1, 3, 5, 7 o 9 y su cuadrado terminará en 1, 9, 5, 9 o 1 respectivamente...

    Pepe Chapuzas estaba orgulloso de haber deducido algo... que todo el mundo sabía...
    Aprovechando su "demostración" le hablé de la irracionalidad de √2. Le recordé que √2 era el valor de la razón entre la diagonal y el lado de un cuadrado como ya habíamos visto con el teorema de Pitágoras. ¡Era una razón irracional! Y añadí que esto se podía demostrar por reducción al absurdo, es decir, suponiendo que √2 fuera racional y llegando a una contradicción... Pepe estuvo muy atento a la explicación: esto es lo que apuntó en su cuaderno...

    Si √2 fuera racional, se podría escribir como una fracción irreducible, o sea, √2 = a/b  (siendo a y b coprimos)... 
    Por lo tanto, elevando al cuadrado, a²/b² = 2, 
y despejando, a² = 2b²,    (*) 
por lo tanto a² sería par... y a también,
o sea, a = 2c, para cierto número natural c.
por tanto, a² = 4c²,    (**)
e igualando (*) y (**) tenemos 2b²  = 4c², y despejando, b²  = 2c², 
y por lo tanto b² sería par... y b también...
    Pero si a y b fueran ambos pares, no serían coprimos... y la fracción irreducible a/b sería una fracción reducible (se podría simplificar dividiendo por 2)... en evidente contradicción...
    Por todo ello, √2 no se puede escribir como una fracción irreducible... y no es un número racional... sino irracional....

    Ahora te toca a ti. Demuestra que √3 es un número irracional.

289. Doblando el papel de regalo

    Profe, mire. Tengo un cuadrado de papel de regalo.. Es azul por un lado y rojo por el otro. He doblado una esquina de modo que ahora se ven una zona azul en forma de ele y una zona roja en forma de triángulo rectángulo isósceles... Ambas zonas tienen la misma área... Si la ele tiene una anchura de 10cm ¿cuánto mide la hipotenusa del triángulo rectángulo?

    Pepe Chapuzas está preparando regalos... con Matemáticas...
    ¿Cuánto mide la hipotenusa?

253. Origami y triángulos egipcios

    Bajamos al patio para hacer una demostración de cómo los antiguos egipcios usaban la cuerda de 12 nudos para trazar ángulos rectos. Teníamos una cuerda cerrada de 12 metros, con un nudo a cada metro, y la tensamos para formar un triángulo de lados de 3, 4 y 5 metros respectivamente. Todos sabíamos que este era un triángulo rectángulo... Comenté que los triángulos semejantes a este (con lados directamente proporcionales a 3, 4 y 5) se llamaban triángulos egipcios...

    Ya en el aula, Pepe Chapuzas, al que últimamente le ha dado por el origami, cogió una hoja de papel cuadrada y la plegó llevando un vértice inferior al punto medio del lado superior...

     Profe, ¿a que los triángulos marcados con un asterisco son egipcios?

     Demuéstralo y te llevarás un positivo.

249. Pitágoras y el tangram

    Profe, mire. Con dos juegos de tangram iguales se puede demostrar el teorema de Pitágoras para triángulos rectángulos isósceles...

    La idea de Pepe Chapuzas me pareció interesantísima y así se lo dije, pero añadí que si los casos particulares de un teorema eran interesantes, las generalizaciones lo eran más... Comenté que si en el teorema de Pitágoras sustituíamos los cuadrados por semicírculos o por pentágonos regulares, obteníamos teoremas similares...

    A Pepe la idea de generalizar le gustó porque al día siguiente trajo una demostración del teorema equivalente con semicírculos y otra del teorema equivalente con polígonos regulares de N lados.

    Atrévete tú a hacer lo mismo. No es difícil...

    A todo esto, si el tangram es de origen chino, el stomachion es de origen griego. Infórmate acerca del stomachion y nos lo cuentas...

203. Los números metálicos

    Un día hablé de los cuadriláteros cíclicos (o inscribibles en una circunferencia) y del teorema de Tolomeo (que afirma que en un cuadrilátero cíclico, el producto de las diagonales es igual a la suma de los productos de los lados opuestos). Al día siguiente comprobé que a Pepe Chapuzas le interesó la lección...

    Profe, mire. Estaba jugando con la mesa camilla (aprovechando que es circular y sin que me viera mi madre) comprobando el teorema de Tolomeo... En seguida me di cuenta de que todos los rectángulos eran cíclicos y entonces el teorema de Tolomeo se conviertía en el teorema de Pitágoras:

    Tuve que recordarle a Pepe que no se jugaba con las mesas camillas. En fin, solo a Pepe Chapuzas se le puede ocurrir eso de jugar con los teoremas... Añadí a su observación que también los trapecios isósceles eran cíclicos...

    Juega con los cuadriláteros cíclicos y demuestra que dos ángulos opuestos son siempre suplementarios.
    Utiliza el teorema de Tolomeo para calcular la diagonal de un pentágono regular de lado 1. (Si haces bien los cálculos obtendrás el llamado número de oro).

    Busca información sobre el número de oro, que es el más famoso de los números metálicos...
    Busca información sobre el número de plata, el número de bronce y otros números metálicos...
    Haz un bonito trabajo con toda esta información y me lo envías por correo electrónico.

41. Triángulos pitagóricos

   Un día, como tantos otros en clase de Mates, volvió a aparecer el teorema de Pitágoras, y en particular, el triángulo pitagórico de lados 3, 4 y 5. Recordé que un triángulo rectángulo era pitagórico si los tres lados medían números naturales, y que precisamente este, el de lados 3,4 y 5, era bien conocido y utilizado en la antigüedad, porque la denominada cuerda de doce nudos se utilizaba para trazar ángulos rectos mucho antes de que naciera Pitágoras:

    Miré a Pepe Chapuzas, que siempre tiene alguna pregunta que hacer..., y no me equivoqué.

    Profe, ¿existe algún plano que determine tres triángulos pitagóricos con los planos coordenados?

    Le contesté que había infinitos y que el primero fue descubierto por un matemático alemán llamado Paul Halcke en 1719.

    Halla la ecuación canónica (o segmentaria) del plano que descubrió Halcke. Como datos te doy las hipotenusas de los tres triángulos pitagóricos.

    ¡Ánimo! Espero la solución.

12. Mates en 3D

    Pepe Chapuzas solía ensimismarse. En clase decían que estaba en la cuarta dimensión. Yo no sé si la cuarta, pero la tercera dimensión sí la tenía siempre muy presente...

    El día que expliqué el teorema de Pitágoras, con una de sus muchas demostraciones gráficas (algo chapuceramente)...

...Pepe ilustró en su cuaderno una versión tridimensional (más chapucera todavía):

 

    Explica como se han hecho los cortes de los cuadrados en estas demostraciones...

    Y el día que expliqué el triángulo de Tartaglia y el binomio de Newton (a la izquierda), Pepe hizo lo propio, es decir, la versión tridimensional: se ingenió un tetraedro para el desarrollo de las potencias de un trinomio (a la derecha):

  Así, por ejemplo, (a+b+c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc, como ilustró así:

    Fíjate cómo confeccionó el tetraedro (se necesita algo de visión espacial) o busca información en Internet.
    Después, escribe la siguiente planta del tetraedro de Pepe y desarrolla  (a+b+c)³   y  (a+b+c)⁴ .