292. Una razón irracional

    Profe, mire. El cuadrado de un número par es un número par y el cuadrado de un número impar es un número impar. La prueba es muy sencilla... Si un número es par, entonces termina en 0, 2, 4, 6 u 8 y su cuadrado terminará en 0, 4, 6, 6 o 4 respectivamente. Y si es impar, entonces termina en 1, 3, 5, 7 o 9 y su cuadrado terminará en 1, 9, 5, 9 o 1 respectivamente...

    Pepe Chapuzas estaba orgulloso de haber deducido algo... que todo el mundo sabía...
    Aprovechando su "demostración" le hablé de la irracionalidad de √2. Le recordé que √2 era el valor de la razón entre la diagonal y el lado de un cuadrado como ya habíamos visto con el teorema de Pitágoras. ¡Era una razón irracional! Y añadí que esto se podía demostrar por reducción al absurdo, es decir, suponiendo que √2 fuera racional y llegando a una contradicción... Pepe estuvo muy atento a la explicación: esto es lo que apuntó en su cuaderno...

    Si √2 fuera racional, se podría escribir como una fracción irreducible, o sea, √2 = a/b  (siendo a y b coprimos)... 
    Por lo tanto, elevando al cuadrado, a²/b² = 2, 
y despejando, a² = 2b²,    (*) 
por lo tanto a² sería par... y a también,
o sea, a = 2c, para cierto número natural c.
por tanto, a² = 4c²,    (**)
e igualando (*) y (**) tenemos 2b²  = 4c², y despejando, b²  = 2c², 
y por lo tanto b² sería par... y b también...
    Pero si a y b fueran ambos pares, no serían coprimos... y la fracción irreducible a/b sería una fracción reducible (se podría simplificar dividiendo por 2)... en evidente contradicción...
    Por todo ello, √2 no se puede escribir como una fracción irreducible... y no es un número racional... sino irracional....

    Ahora te toca a ti. Demuestra que √3 es un número irracional.

255. La parte entera

    Había explicado el concepto de función y había hecho hincapié en que si a=b entonces f(a)=f(b).

    Enseguida saltó Pepe Chapuzas...

    Profe, tengo una duda sobre la función E, la parte entera de un número. En el libro de primero se decía que la parte entera de un número decimal (positivo) era el número entero que aparece a la izquierda de la coma. Por ejemplo E(123,456)=123. Según esto, E(0,999...)=0 y E(1,0)=1, ¿verdad? Y como 0,999...=1,0 , si E fuera una función, entonces E(0,999...)=E(1,0), o sea, 0=1. Dicho de otro modo, la función E no es una función... ¿O sí? ¡Yo no me entero con la parte entera!

    En un concurso de chapuzas Pepe se llevaría el primer premio...

    Aclárale a Pepe su duda y de paso dile cuánto vale E(–7,5) y E(–9,999...).

48. La casa de Zero y los logaritmos

    Aquí tenéis un relato que encontré en el cuaderno de Pepe Chapuzas. Por supuesto termina con un ejercicio de Mates...

    Hola. Me llamo Zero y os voy a hablar de mi casa y de los seres tan complejos que la habitan. Todos los habitantes tenemos unas zonas predeterminadas en la casa... Empecemos con el desván. En el desván está prohibido entrar. Yo creo que allí moran fantasmas, espectros y otros seres imaginarios. Ellos no pueden salir ni nosotros, los seres reales, entrar. El desván es el lugar más misterioso de la casa... Un lugar interesante también es la pecera. En la pecera viven los únicos animales de la casa. Me refiero, ya se entiende, a los únicos animales irracionales. Los racionales, es decir, los humanos, no nos metemos en peceras... Un lugar curioso es el relicario. El relicario es un armarito con fracciones de humanos. No es broma. Entre las reliquias hay huesos quebrados de santos... Pero sigamos. Las zonas más cómodas de la casa nos están reservadas a los humanos enteros. Somos muy diferentes unos de otros y estamos separados. Unos por su carácter son más bien positivos y naturales y se alojan en el ala derecha, mientras que los otros, los negativos, se ubican en la izquierda. Yo siempre estoy en medio y para todos soy una nulidad. Un día invitamos a unos logaritmos y se quedaron a dormir... ¿A ver si adivinas a dónde fue a parar cada uno?

 

6. ¿Una chapuza musical?

    Pepe Chapuzas investiga las Matemáticas que hay detrás de las cosas y a veces se lleva sorpresas...

    Profe, ayer en Música nos hablaron de los armónicos. Mire, si una cuerda vibra, por ejemplo en DO, la mitad de la cuerda vibra con frecuencia doble. Es lo que se llama el primer armónico, y resulta que es el siguiente DO. Y como entre los dos DOS hay una octava entera, la distancia es de 12 semitonos.

    Yo ya me estaba perdiendo pero él seguía...

    Y un tercio de la cuerda vibra con frecuencia triple, que es el segundo armónico. Y resulta que es el segundo SOL. O sea que ahora el intervalo es de 19 semitonos.

    Al verme confuso y aturdido me hizo un dibujo para que comprendiera:

    Conté los semitonos,  12 + 7 = 19 , y dejé que continuara...

    Como las frecuencias de las notas (de la escala cromática) están en progresión geométrica, me puse a calcular la razón de la progresión...

    Si lo hago con el primer armónico, tenemos frecuencia doble y 12 semitonos, por lo tanto:

    Si lo hago con el segundo armónico, tenemos frecuencia triple y 19 semitonos, así que:

    Como ve, algo no cuadra. ¿Qué "chapuza" es esta?

    ¿Se habrán afinado los instrumentos musicales siempre de la misma manera? Investiga en Internet y se lo aclaras a Pepe.