266. Trigonometría hiperbólica

    Profe, ¿nos tenemos que aprender todas las fórmulas trigonométricas? ¡Son demasiadas!...

    Era Pepe Chapuzas el que se quejaba... Le comenté que no había motivos para protestar puesto que no íbamos a ver la trigonometría hiperbólica, la hermana gemela de la trigonometría circular de la que se quejaba tanto... Y que todavía había una hermana mayor, que era la trigonometría esférica... Sabía que iba a despertar su curiosidad, así que le definí las funciones sh (seno hiperbólico) y ch (coseno hiperbólico):

    Y me atreví a darle tres fórmulas de trigonometría hiperbólica que enseguida relacionó con las equivalentes de trigonometría circular...

    Pepe Chapuzas no tuvo ningún problema en demostrar estas tres fórmulas a partir de las definiciones de sh y ch... Hazlo tú también.

258. Una función atómica de variable política.

    Estábamos poniendo en clase ejemplos de funciones. Habían salido funciones reales de variable entera, funciones naturales de variable racional y otras combinaciones... Pepe Chapuzas intervino con el siguiente ejemplo:

    Profe, mire mi función f. Es una función atómica de variable política. Me explico... A un país le asigno un elemento químico si el prefijo telefónico internacional del país coincide con el número atómico del elemento. Así,   f (España) = Selenio   y   f (Pakistán) = Uranio   ...

    ¡Qué manera tiene Pepe de complicarse la vida!
    Comprueba que    f (España) = Selenio    y    f (Pakistán) = Uranio.
    Resuelve la ecuación    f (Francia) = Y.
    Resuelve la ecuación    f (X) = Hidrógeno.
    Busca un país que no pertenezca al dominio de f.
    Busca un elemento que no pertenezca al recorrido de f.

255. La parte entera

    Había explicado el concepto de función y había hecho hincapié en que si a=b entonces f(a)=f(b).

    Enseguida saltó Pepe Chapuzas...

    Profe, tengo una duda sobre la función E, la parte entera de un número. En el libro de primero se decía que la parte entera de un número decimal (positivo) era el número entero que aparece a la izquierda de la coma. Por ejemplo E(123,456)=123. Según esto, E(0,999...)=0 y E(1,0)=1, ¿verdad? Y como 0,999...=1,0 , si E fuera una función, entonces E(0,999...)=E(1,0), o sea, 0=1. Dicho de otro modo, la función E no es una función... ¿O sí? ¡Yo no me entero con la parte entera!

    En un concurso de chapuzas Pepe se llevaría el primer premio...

    Aclárale a Pepe su duda y de paso dile cuánto vale E(–7,5) y E(–9,999...).

197. Empieza la función

    Lo último que habíamos explicado en clase era el concepto de función. Pedí a mis alumnos que buscaran ejemplos e inventaran ejercicios con esos ejemplos... Esta fue la propuesta de Pepe Chapuzas:

    Profe, mire. Sean  f  la función que aplicada a un número natural nos devuelve la suma de sus dígitos pares y  g  la que nos devuelve la suma de sus dígitos impares. Por ejemplo f(45923)=4+2=6 y g(45923)=5+9+3=17. El ejercicio es el siguiente...

138. Funciones periódicas

    Había mandado estudiar la periodicidad de un par de funciones en la tarea para casa y Pepe Chapuzas salió a la pizarra para corregir el ejercicio. Como quedaba poco tiempo para que acabara la clase Pepe se dio mucha prisa. Se dio tanta prisa que dio el resultado (los períodos) sin ningún paso intermedio. Los compañeros empezaron a preguntar cómo lo había hecho pero sonó la campana...

    Echa un vistazo a la solución de Pepe e intenta explicarla.

86. ¿De qué color?

    Profe, dígame de qué color son las siguientes palabras. No las lea, solo dígame de qué color son...

     Tengo que reconocer que me costó leerlas, mejor dicho, no leerlas. Haz tú la prueba... Pepe Chapuzas me había puesto en un aprieto. Pero este ejercicio mental me sirvió para explicar la función recíproca. Me inventé la función  F que se podía leer "el color de la palabra". Así, con la primera palabra teníamos que F(VERDE)=ROJO porque el color de la palabra VERDE era el color ROJO evidentemente... Pues bien, la función recíproca F* se podría leer "la palabra de color". Así pues, F*(ROJO)=VERDE porque la palabra de color ROJO era la palabra VERDE. Como era un poco lioso expliqué otra forma de entender la función recíproca: consistía en cambiar la lista de palabras. La primera palabra de la nueva lista, en vez de ser la palabra VERDE en ROJO, sería la palabra ROJO en VERDE, es decir, en vez de VERDE, sería ROJO y así con todas las demás...
    Completa la nueva lista de palabras coloreadas para la función recíproca si quieres un positivo.

81. El falso exponenente

    Profe, mire. Primero nos dicen que  cos ²  es una potencia, es decir, que  cos ²x = (cos x) ² , y después nos dicen que en las calculadoras  cos ^–1  no es una potencia porque  cos ^–1x = arccos x  en vez de  1/cos x = sec x . La verdad, profe, ¡cuando hay chapuzas en Mates...! A todo esto, ¿qué sería  cos ^–3 ?

    Cuando Pepe Chapuzas tiene razón hay que dársela. Este es un ejemplo claro de una notación ambigua que es difícil de enmendar. Algunas veces se utiliza la notación  f *  en vez de  f ^–1  para evitar confusiones, y otras veces se emplea la denominación de función recíproca en vez de función inversa por la misma razón, pero el peso de la tradición...
    Calcula las funciones recíprocas de las siguientes funciones:

20. ¿Pares o nones?

    Profe, eso de llamar con el mismo nombre a dos cosas distintas... No sé... Pero si además las cosas empiezan a funcionar al revés... Entonces es el colmo de las chapuzas... Mire:

    Pepe Chapuzas y sus reflexiones... ¡Qué le vamos a hacer!

 

    Completa el cuadro siguiente:

    Espero tu respuesta...