287. ¡A optimizar!

    Pepe Chapuzas ha propuesto dos ejercicios de optimización. Uno de minimizar y otro de maximizar:

    Calcula las dimensiones de la pirámide de menor volumen circunscrita a un cubo de lado 10cm.

    Una esfera roja está inscrita en un cono que a su vez está inscrito en una esfera de radio 10cm. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del cono para que la esfera roja sea lo más grande posible?
 

    Resuelve los dos ejercicios. Hay dos positivos esperándote...

178. Cortando el alambre

    Dicté en clase un problema clásico de optimización. Pepe Chapuzas copió el enunciado en su cuaderno, pero además escribió algo que remarcó en amarillo chillón y que yo no había dictado... También hizo un dibujo para ilustrar el problema antes de resolverlo...

    Un alambre de un metro de longitud se corta en dos trozos. Doblando los dos trozos de alambre se forman un cuadrado y un círculo respectivamente. Calcula la longitud de cada trozo para que la suma de las áreas del cuadrado y del círculo sea mínima.
    (Los trozos de alambre tienen distintas longitudes y el cuadrado y el círculo tienen distintas áreas).

    Calcula las áreas del cuadrado y del círculo suponiendo cortamos el alambre para que las longitudes de los dos trozos sean iguales.
    Calcula las longitudes de los trozos de alambre suponiendo que cortamos el alambre para que las áreas del cuadrado y del círculo sean iguales.
    Resuelve el problema dictado calculando, además de las longitudes de los trozos de alambre, las áreas del cuadrado y del círculo. ¿Tenía razón Pepe Chapuzas en lo que remarcó con rotulador?

114. Las pelotas saltarinas.

    A alguien se le escapó una pelota saltarina en clase. Como curiosamente no era de nadie, quedó confiscada... Entonces propuse un ejercicio y comenté que el primero en resolverlo se quedaría con la pelota saltarina. Dicté el enunciado para que los chicos lo copiaran en sus cuadernos...

    El centro de gravedad de una pelota saltarina recorre una trayectoria parabólica. La parábola pasa por los puntos (–6,0), (0,18) y (6,0). En el punto (0,9) se encuentra el centro de gravedad de otra pelota saltarina misteriosamente inmóvil. ¿Cuál es la distancia mínima que hubo entre las pelotas saltarinas si ambas tienen de diámetro 1? (Todas las cantidades están expresadas en centímetros.)

    Fue Pepe Chapuzas el que rescató la pelota. ¿La podrías haber rescatado tú?

77. Doble optimización

    Hemos empezado el tema de optimización y Pepe Chapuzas está entusiasmado...

    Profe, no me imaginaba las cosas que se podían conseguir con las derivadas... Para el reto de esta semana he propuesto dos ejercicios en uno: una maximización y una minimización...
    Se trata de encontrar las dimensiones de dos conos: el de mayor volumen inscrito en la esfera y el de menor volumen circunscrito en la esfera. Los conos son rectos y de base circular y la esfera tiene de radio 1 metro. Además hay que calcular los dos volúmenes.