239. La siesta del 8

    Profe, mire. El ocho sueña que es infinito en vez de ocho cuando echa la siesta...

    El chiste de Pepe Chapuzas era muy viejo y no tuvo demasiado éxito... Entonces le comenté que había un ocho que no podía soñar que era infinito porque no podía dejar de ser ocho ni echando la siesta... Se trataba del ocho (que estaba echando la siesta) determinado por las gráficas de las funciones sen(x) y –sen(x) en el intervalo [–π,π]... Hice un dibujo en la pizarra...

    Pepe exclamó:

    ¡Es por culpa del área que encierra!

 

    Estas curvas se llaman sinusoides. Calcula el área (amarilla) encerrada entre las dos sinusoides...

191. La revolución de las parábolas

    Había mandando calcular varios volúmenes de sólidos de revolución y de rebote Pepe Chapuzas "mandó" el siguiente problema... No me pareció difícil pero sí interesante:

    Sea la gráfica de la función y=x² entre los puntos (0,0) y (a,a²), es decir, un arco de parábola. Y consideremos, por un lado, el sólido de revolución que se genera al girar este arco alrededor del eje de abscisas y, por otro lado, el sólido de revolución que se genera al girar el mismo arco pero ahora alrededor del eje de ordenadas... Calcúlese el valor de a para que los volúmenes de los dos sólidos sean iguales.

    Estaba claro que el arco por sí solo no generaba sólidos sino superficies y así se lo hice saber a Pepe. Pepe entonces dibujó las superficies, les puso tapas circulares y las "rellenó"...

    ¿Cuánto vale a?
    ¿Y si la función fuera y=x³?
    ¿Y si la función fuera y=xⁿ?
    ¿Cuánto vale el límite de a cuando n tiende a infinito?

167. Parábolas en la vida

    Pedí a mis alumnos que buscaran ejemplos de parábolas en sus vidas y las respuestas fueron las de siempre: trayectorias de balones de fútbol, chorros de agua en las fuentes..., incluso las antenas parabólicas fueron mencionadas. Para Pepe Chapuzas las Matemáticas forman parte de su vida por lo que su respuesta fue muy diferente: las parábolas de Apolonio, las parábolas de Arquímedes... Aprovechando la respuesta de Pepe propuse como tarea de casa que demostraran el siguiente resultado de Arquímedes...
    "Si s y t son dos rectas paralelas, s secante a una parábola en los puntos A y B, y t tangente a la parábola en el punto C, entonces el área del triángulo ABC es 3/4 del área encerrada entre la parábola y la recta secante".

    Se suponía que tenían que utilizar la integral definida y la regla de Barrow para resolver el ejercicio pero Pepe mostró cómo lo había descubierto Arquímedes...

    Investiga y resuelve el ejercicio de las dos maneras.

4. Una trompeta para pintar

    A Pepe Chapuzas le fascina el infinito. Le encanta jugar con él en arriesgadas piruetas. Un día se tropezó con una "paradoja":

    Profe, he calculado el área entre media rama de hipérbola y su asíntota (era el ejercicio 44 de la unidad) y me sale infinita. Si quisiera pintar esta superficie necesitaria infinita pintura, y saldría infinitamente caro, ¿verdad?



¡OJO! Las unidades están en decímetros

    Pero si giro este trozo de hipérbola alrededor de la asíntota tengo una especie de trompeta. Mire cuál sería su capacidad (problema 45):

    ¡Menos de 3,1416 litros! ¡En casa tengo una lata de 5 litros! ¿Podría pintar la superficie del principio si la meto en mi trompeta llena de pintura? ¡Sería superbarato!

    ¿Quién puede contestar a Pepe? ¿Quién descubrió la "trompeta para pintar" mucho antes que Pepe?