398. SOLUCIÓN de 98. Comparando esferas

    Pepe Chapuzas estaba coloreando un curioso dibujo en su cuaderno. Me recordaba vagamente una esfera armilar. Para meterme con él le comenté lo chapuza que le estaba quedando esa esfera armilar. Pepe, se defendió diciendo que solo se trataba de una esfera pequeña inscrita en un tetraedro regular inscrito a su vez en una esfera grande... Debajo había escrito unas preguntas referentes al dibujo...

    Si R y r son los radios de las esferas... ¿Cuánto vale R/r?
    Si A y a son las áreas de las esferas... ¿Cuánto vale A/a?
    Si V y v son los volúmenes de las esferas... ¿Cuánto vale V/v?

    Haz cálculos y responde razonadamente...

SOLUCIÓN

    Profe, solo tengo que calcular R/r, porque A/a = (R/r)² y V/v = (R/r)³.

    Dejé que Nina Guindilla siguiera con su explicación...

    Como las esferas y el tetraedro son concéntricos, como R es la distancia del centro a un vértice del tetraedro, como r es la distancia del centro a una cara del tetraedro, como el centro de un tetraedro regular es el baricentro (intersección de las medianas), como el baricentro corta a cada mediana en dos segmentos tales que el mayor es el triple del menor y como esos segmentos son R y r respectivamente, entonces R/r = 3, A/a = 9 y V/v = 27.

    Nina da por conocidos muchos resultados. Justifícalos.