Aquí tenemos otro dibujo del cuaderno de Pepe Chapuzas con su correspondiente cuestión...
Sean dos hipérbolas que comparten sus asíntotas de modo que las asíntotas separan a las hipérbolas. (Esta disposición no implica que sean hipérbolas conjugadas). Y sean E y F sus excentricidades... Demuestra que E 2 + F 2 = E 2 F 2 .
SOLUCIÓN
Profe, mire mi dibujito... Las asíntotas son rectas secantes y determinan entre sí ángulos suplementarios: a+b=p. Las bisectrices de las asíntotas son rectas perpendiculares y son los ejes de las hipérbolas. Las asíntotas determinan con las bisectrices ángulos complementarios: a/2+b/2=p/2. Las excentricidades de las hipérbolas son las secantes de estos ángulos: E=sec(a/2) y F=sec(b/2). El prefijo "co-" de cosecante (y de coseno y de cotangente) significa complementario: la cosecante de un ángulo es la secante de su complementario, por lo que F=cosec(a/2). Así tenemos que...
E 2 + F 2 = sec2(a/2) + cosec2(a/2) = 1/cos2(a/2) + 1/sen2(a/2) =
= (sen2(a/2)+ cos2(a/2))/(cos2(a/2)·sen2(a/2)) = 1/(cos2(a/2)·sen2(a/2)) =
= sec2(a/2)·cosec2(a/2)) = E 2 F 2.
Si todavía no sabes lo que son hipérbolas conjugadas, busca una definición y mándamela.
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